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1、立体几何专题复习一、立体几何初步(一)、在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给岀的空间几何体的表面积和体积的计算等问题试题的题型主要是选择题或者填空 题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题.该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空 间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法必备知识正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的
2、射影构成一个直 角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边 长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一 个直角三角形.三视图(1) 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2) 三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度 和正视图一样，宽度与俯视图一样.几何体的切接问题(1) 球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长
3、.(2) 柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题.必备方法1. 几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成 两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、 下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截 面中得到；多面体及旋转体的侧 面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段.2. 求体积常见技巧当给岀的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然
4、几何体并不复杂，但条件中的已知元 素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利.(1) 几何体的“分割：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之.(2) 几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方 体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法.(3) 有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直 角梯形求有关的几何元素.(二)、点、直线、平面之间的位置首先要学会认识几何图形，有一定
5、的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关 系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟 练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述.必备知识平行关系的转化两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行， 所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图.血而平彳f的判泄面面平行的性质解决平行问
6、题时要注意以下结论的应用(1) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(2) 两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面.(3) 条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交.(4) 平行于同一条直线的两条直线平行.(5) 平行于同一个平面的两个平面平行.(6) 如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行. 垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图.血血垂直的河泄线血垂宜的判瞪网S fn血垂直的判定面面垂直曲而垂直的性质在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线
7、必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化.必备方法1 证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑.2证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直.3使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题.4正向思维受阻时，可考虑使用反证法.5计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨.本专题在高考考查内容上，占据比较固定的位置，一般会有一道小题(选择题或者填空题)与一道解答 题，小题一般难度不会太大，属于中档题，考试
8、只要了解基本知识，是没有问题的，解答题也是属于中档 题，在有限的时间，希望同学们理解好基础知识。选择与填空题主要考查体积，表面积的计算，或者平行， 垂直定理的判断。 解答题主要是考察平行于垂直定理的应用或是空间几何体体积的计算。、空间向量与立体几何对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关
9、系、线面角、面面角的准确转 化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性必备知识直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线|，m的方向向量分别为a= (ai，b1，o)，b=(a?，H，c?).平面a、p的法向量分别为g =(a3，b3，C3)，v = (a4，b4，C4)(以下相同).(1) 线面平行l / a ? aX g ? a g = 0? aa3 + bb + ciC3= 0.(2) 线面垂直| 丄 a ? a/ g ? a= kg ? ai= ka3，bi= k&，ci= kC3.(3) 面面平行a / p ? g / v? g =入 v? a3 =
10、入 a4， bs =入 b， C3 =入 C4.(4) 面面垂直a 丄 p ? g 丄 v ? g v= 0? a3a4+bab4+ C3 = 0.空间角的计算(1) 两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为9，贝UI a b |cos = |cos 9 | = pa|i b| (其中为异面直线a，b所成的角).(2) 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线I的方向向量为e,平面a的法向量为 n直线I与平面a所成的角为，两向I e n|量e与n的夹角为 9，则有 sin = |cos 9 | = |剖 n| .(3) 二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角
11、，如图所示,m n即为所求二面角的平面角.对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示，二面角 a l p，平面a的法向量为n1，平面p的法向量为n2,n 1，n2= 9，则二面有a l p的大小为 9或n 9 .空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离.| PM- n|点P到平面a的距离，d= yn （其中n为a的法向量，M为a内任一点）必备方法1.空间角的范围异面直线所成的角（9 ） : 0 9 nn ；（2）直线与平面所成的角（9 ） : 0 9 2;（3）二面角（9 ） : 0 9 n .2用向量法
12、证明平行、垂直问题的步骤：（1）建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直角坐标系，也可以不建系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；（2）通过向量运算研究平行、垂直问题；（3）根据运算结果解释相关问题.3空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：（1）求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；（2）求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析考点一：空间几何体的三视图与直观图1、（2012年高考湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】冨题是组合陳的二视图冋題，由几何
13、悴的正观图和侧视图均如图1所不知，原图下面图为區柱或直四棱柱，上面杲圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A, B, C ,都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视圏上丽应为如图的矩2、（2012年高考陕西卷）将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图 2所示的几何 体，则该几何体的左视图为（）c （15）（C）【答案】B.【解析】根据空间几何体的三视图的概念易知左视图AD,是实线B,C是虚线，故选 B.考点二：空间几何体的表面积、体积C2O12年高着上海卷）一个高为龙的圆枉，底面周长为工该匾柱的表面积两【答案】6拓【解析】底面HI的周长工於=2兀，所以IH柱的底面半
14、径#=1,所UAIH柱的侧面积为4忙两牛底面积为= 2兀，所以圆柱的表面积为4、（2012年高考新课标卷）如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A.6B.9 C.12D.18【答案】B【解析】选B由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，1 1高为3，所以几何体的体积为 V二一 一 6 3 3=9,选B.325（2012年高考浙江卷）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A. 1cm3B. 2cm33C. 3cmD. 6cm3【答案】C（M3越图）6. 【2012高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD, AB=1
15、, BCf 2。将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与BD” “ AB与CD” “AD与BC均不垂直【答案】C观察在翻着过程，即可【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,知选项C是正确的.7. 【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球 O的求面上，厶ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2 ;则此棱锥的体积为（A）彳(C)f（D）子【答案】A【解析】. ABC的外接圆的半径r 33点O到面ABC的距离
