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1、三角形“四心”定义与性质之巴公共开创作创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日所谓三角形的“四心”是指三角形 的重心、垂心、外心及内心。当三角形 是正三角形时，四心重合为一点，统称 为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O暗示性 质： 1.外心到三顶点等距，即 OA OB OC。2 .外心与三角形边的中点的连线垂直于三角 形的这一边，即 OD BC,OE AC,OF AB .1113 . A BOC B AOC C AOB 。2,2,2 二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切 圆圆心。ABC的内
2、心一般用字母I暗示，它具有如下性质： 性 质：1 .内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。2 .三角形的面积=1三角形的周长 内切圆的半径.23 . AE AF, BF BD,CD CE ;AE BF CD 三角形的周长的一半。111 一4 . BIC 90 A, CIA 90 B , A旧 90 C。222三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重 心。ABC的重心一般用字母 H暗示 性 质：1 .顶点与垂心连线必垂直对边， 即 AH BC, BH AC,CH AB。2 . ABH的垂心为 C , BHC的 垂心为A , ACH的垂心为B。 四、三角形的“重心”： 定 义：三
3、角形三条中线的交点叫重心。 ABC的重心一般用字母G暗不性 质：G的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的即 GA 2GD,GB 2GE,GC 2GF3 .重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即XgXaXbXc,yGyA yByc34 .向量性质：（1） GA GB GC 0；5 2) PG 1( PA PB PC), 35 QQQ10c5. S BGC S CGA S AGB _ S ABC 03五、三角形“四心”的向量形式：结论1 ：若点O为 ABC所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA,则点。为ABC的垂心。结论2 :若点O为zABC所
4、在的平面内一点，满足2 22 222OA BC OB CA OC AB ,则点O为ABC的垂心。结论3：若点G满足GA GB GC 0,则点G为ABC的重心。结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG 1(OA OB OC), 3则点G为ABC的重心。结论5：若点I为ABC所在的平面内一点，而且满足a IA b IB c IC 0(其中a,b,c为三角形的三边)，则点I为4ABC的内心。结论6:若点O为ABC所在的平面内一点，满足(Oa Ob)ba (Ob Oc)cb (Oc Oa)Ac ,贝U点 o 为 abc 的夕卜心。结论7:设 0,则向量AP(空二C),则动点P的轨迹过|AB| |AC|ABC的内心。创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
