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1、目录摘 要2 -1倒立摆系统概述-4-1.1 倒立摆的种类-4-1.2 系统的组成-4-1.3 工程背景-4-2数学模型的建立-5-1 .1牛顿力学法系统分析-5-2 . 2拉氏变换后实际系统的模型-8 -3 开环响应分析-9-4 根轨迹法设计-12 -4. 1校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析-12 -42 系统稳定性分析-12 -5. 3根轨迹设计-13 -4.4 SIMULINK 仿真-17-5直线一级倒立摆频域法设计-18 -5. 1 系统频域响应分析-18 -5. 2频域法控制器设计-20 -5. 2. 1 控制器的选择-20 -6. 2. 2系统开环增益的计算-20 -5. 2.
2、 3校正装置的频率分析-20 -6. 3 Si mu link 仿真-25 -6直线一级倒立摆的PID控制设计-26 -7. 1 PID 简介-26 -供学习参考6.2 PID控制设计分析-27-6.3 PID控制器的参数测定-28-7 总与- 31 -7 1 - 31 7 2 2X - 31 -考- 32 -摘要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳定系统，许多抽象的控制概 念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反响出来; 倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿 态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利
3、用前景。因此，对 倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通 过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆杆角 度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移 与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为: 供学习参考G0(s) =_VGO0.027250.0102125.r-0.26705即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应, 利用Matlab中的Simulin
4、k仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和PID控制法对倒立摆系统进行校正。针对目标一：调整时间f,=0.5s（2%误差带），最大超调量选取参数利用 根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环行的传递函数为：G*s) =135.1547(5 + 5.0887)s + 135.1547针对目标二：系统的静态位置误差常数为10：相位裕量为50。；增益裕量等于或大 于10分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为：Gc(s) =1189.6(5 + 8.15)5 + 99.01(3)针对目标三：调整时间匕=2s（2%误差带），最大超调量，b15%,设
5、计或调整PID控制器参数，得出调整后的传递函数为：Gr（5）= 210 + + 205 关键词：直线一级倒立摆根轨迹分析 频域分析 PID控制供学习参考1倒立摆系统概述1.1 倒立摆的种类悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。1.2 系统的组成倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和PC机）三 大局部组成。1.3 工程背景机器人的站立与行走类似双倒立摆系统。在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一 直指向太阳。为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必
6、须能自动地保持伺服云台的稳定消除 震动。多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机 结合。2数学模型的建立2.1 牛顿力学法系统分析通过以上假设，将倒立摆抽象为如以下图的系统图直线一级倒立摆模型 M小车质量1. 096 Kg m摆杆质量0. 109 Kg 6小车摩擦系数0. l/m/sec 1摆杆转动轴心到质心长度0. 25m I摆杆惯量0. 0034 kgm2 F加在小车上的力 X小车位置。摆杆与垂直向上方向的夹角 0摆杆与垂直向下方向的夹角图小车及摆杆受力分析cos。=-cos 6sin。=-singX和P为
7、小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量o首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的 第一个运动方程。对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程: , 入 f dxM - = F-b _ 一 Ndt2 dt对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程:d2N = mr(x + l sin0)df即:N = m 汇 + ml cos = Fdr dt drdt然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：.2Png = mP -mg = -ml 竽 sin 夕 一 ?/(一尸 cos 0力矩平衡方
8、程如下:-P/sin6-Mcos = / dt1此方程中力矩的方向,如以下图6 =万+。,那么cos。= 一sindsin。=-sin。，故 等式前面有负号。合并这两个方程，约去尸和M得到第二个运动方程：(/ + ml2)+ mgl sin 0 = -ml cos 0drdr(2-1-8)设6 =4+0（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设。与1 （单位是弧度）相比很小，即。1,那么可以进行近似认为cos8 = -l,sin8 = -么（=0。用来 dt代表被控对象的输入力尸，线性化后两个运动方程如下3：(/ + ml2) 4 - mgl = ml ()2 drdr、”与 I dxd2(/(
9、M + ?)- + bml - = udt2 dtdt2(2-1-9)假设初始条件为0,对式（3-9）进行拉普拉斯变换，得到:(/ + 厂)(s)s-= mlX (s)/(M + 7)X(5)52 + bX (s)s ?/(s)/=U(5)(2-1-10)由于输出为角度小，求解方程组的笫一个方程，可以得到:X(s) =(/+?-)g(s)mis2X (5) (/ + ml2 )s2 mg I(2-1-12)令叩x,那么有:(5)mlV(5)(/ + ml2)s2 -mgl(2-1-13)把上式代入方程组的笫二个运动方程，得到:nil“十小)+2 S-加(S2=U(S)mlmis2q(s)0.0
10、2725/X(s) 0.0102125?-0.26705(2-2-1)整理后得到传递函如箭，2加侬S +s -s -S(2-1-15)其中 q = (W + m)(I + ml2) -/n2/2 02. 2拉氏变换后实际系统的模型本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的 实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数:摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:(2-2-2)(2-2-3) _0.02725V( 0.0102125s2 -0.26705摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： _2.356555西 一 + 0 0883167/一 27.9169s 一 2.309
11、423开环响应分析当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。山式（2-2-1）、（2-1-2）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数:（3-1）X（s）_ 1V（5）利用Matlab中的Simulink仿真工具进行仿真，仿真系统的结构如图untitled *。| 回摆杆角度的单位脉冲、阶跃响应，小车位置的单位脉冲、阶跃响应如以下图摆杆角度的阶跃响应摆杆角度的脉冲响应小车位置的阶跃响应小车位置的脉冲响应从图可知，输入加速度时，摆杆角度及小车位移的阶跃响应和脉冲响应都是发散 的。倒立摆系统不稳定，需要进行校正。4根轨迹法设计4.1校正前倒立摆系统的闭
12、环传递函数的分析本系统采用小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，得出的传递函数:器=际竽即即式(222)。供学习参考4. 2系统稳定性分析在MATLAB中新建一个m文件，并进行编程如下：num=O. 02725 ;den=0. 0102125 0 -0. 26705;rlocus(num, den)p=roots(den)保存后运行文件，山结果可知该系统不存在开环零点，仅有两个绝对值相等的开 环实极点 = 5.1136。并绘制出了未校正系统的根轨迹图如下可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极 供学习参考点，并沿着实轴向左到位于原点的零点处，这说明无论增
13、益如何变化，这条根轨迹总 是位于右.半平面，即系统总是不稳定的。4. 3根轨迹设计开环传递函数:(s) _0.02725V() - 0.0102125? -0.26705设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：最大超调量O-P% 10%调整时间ts = 0.5s(2%误差带)1、根据性能指标，计算校正后闭环主导极点的坐标。由于最大超调量：Tp%10% 有公式 5 =。一八，一=0.1我们可以算出4为6 591155,取，为0可9。由 7 二cos夕得,P = 46. 37 o又调节时间为 = 0.5s (=2%) (COn取A=0,5s得4二13.043由特征根为S1二=贽? 1得期待闭环主导极点
