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1、专业好文档数学思想方法练习卷班别： 姓名： 学号： 得分：_1某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？2一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4人编队，则最后差3人；若 按每排3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这支队伍至少有多少人？3在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？4有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？5如下图，四边形ABCD和E
2、FGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。6是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点？7如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a，b，c，d，e，求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。8将n2个互不相等的数排成下表：a11 a12a13 a1na21 a22a23 a2nan1an2an3 ann先取每行的最大数，得到n个数，其中最小数为x；再取每列的最小数，也得到n个数，其中最大数为y。试比较x和y的大小。9将10到40之间的质数填入下图的圆圈中，使得3组由“”所连的4个数的和相等，如果把和数相等的
3、填法看做同一类填法，请说明一共有多少类填法？并画图表示你的填法。10有四个互不相等的数，取其中两个数相加，可以得到六个和：24，28，30，32，34，38。求此四数。11互不相等的12个自然数，它们均小于36。有人说，在这些自然数两两相减（大减小）所得到的差中，至少有3个相等。你认为这种说法对吗？为什么？12有8个重量各不相同的物品，每个物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法：（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重；（3）把以上2组中较重的分成各1
4、个，取出较重的1个。小平称了3次天平都没有平衡，最后便得到一个物品。可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。问：小平找出的这个物品有多重？并求出第二轻的物品重多少克？13.育才小学40名学生参加一次数学竞赛，用15分记分制（即分数为0，1，2，15）。全班总分为209分，且相同分数的学生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。14.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币任意付款，一共可以付出多少种不同数额的款项？15.求在8和98之间（不包括8和98），分母为3的所有最简分数的和。16.如右图，四边形ABCD的面积为3，E，F为边A
5、B的三等分点，M，N是CD边上的三等分点。求四边形EFNM的面积。17.直线上分布着1998个点，我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问：至少可以得到多少个互不重合的中点？18.假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打多少个电话？19.有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是64，66，68，70。求这4个数。20.有五个砝码，其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问：这五个砝码的重量相等吗？为什么？数学思想方法练习卷答案1解：最高的得分为50分，最低的得分为0分。在
6、从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）。2分析：从条件的反面来考虑，可理解为“若按每排4人编队，则最后多1人”。按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来，原题就化为：一个5的倍数大于1000，且它被12除余1。问：这个数最小是多少？解：是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因人数超过1000，3，4，5=60，最少有25+6017=1045（人）。3解：将八边形的8个顶点上的数依次记为a1，a2，a3，a8，则有S=a1+a2+a3+a8=1+2+3+8=36。假设任
7、意3个相邻顶点上的数都大于13，因为顶点上的数都是整数，所以a1+a2+a314；a2+a3+a414；a7+a8+a114；a8+a1+a214。将以上 8个不等式相加，得3S112，从而 S 37，这与S=36矛盾。故结论是否定的。4解：假设这个数为A，它是自然数a的平方。因为A的各位数字之和888是3的倍数，所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数，但888不是9的倍数，这样就产生了矛盾，从而A不可能是平方数。5.分析：我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况（见上图）。此时，显然有得答案后，这个问题还得回到一般情况下去解决，解决的方法是将一
8、般情况变成特殊情况。解：自E向AB和AD分别作垂线EN和EM（右图），则有S=SPME+S四边形AMEQ 又SPME=SEQN，故S=SEQN+S四边形AMEQ =S正方形AMEN=16. 分析与解：先考虑一种特殊的图形：围棋盘。它有38条直线、361个交点。我们就从这种特殊的图形出发，然后进行局部的调整。先加上2条对角线，这样就有40条直线了，但交点仍然是361个。再将最右边的1条直线向右平移1段，正好增加了4个交点（见上图）。于是，我们就得到了有365个交点的40条直线。7. 分析：从这8个数都相等的特殊情况入手，它们满足题目条件，从而得所求值为0。这就启发我们去说明a+b+c+d=e+f
9、+g+h。解：由已知得3a=b+e+d，3b=a+c+f，3c=b+d+g，3d=a+c+h，推知3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h，a+b+c+d=e+f+g+h，（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。8. 分析：先讨论n=3的情况，任取两表：1 37123 256 456 894 789左上表中x=6，y=4；右上表中x=3，y=3。两个表都满足xy，所以可以猜想xy。解：设x是第i行第j列的数aij，y是第l行第m列的数alm。考虑x所在的行与y所在的列交叉的那个数，即第i行第m列的数aim。显然有aijaimalm，当i=l，j=m时等号成立，所以xy
10、。9. 解：10到40之间的8个质数是11，13，17，19，23，29，31，37。根据题目要求，除去最左边和最右边的2个质数之外，剩下的6个质数在同一行的2个质数的和应分别相等，等于这6个数中最小数（记为a）与最大数（记为b）之和a+b。根据a，b的大小可分为6种情况：当a=11，b=29时，无解；当a=11，b=31时，有11+31=13+29=19+23，得到如下填法：当a=11，b=37时，有11+37=17+31=19+29，得到如下填法：当a=13，b=31时，无解；当a=13， b=37时，无解；当a=17，b=37时，无解。所以，共有2类填法。10. 解：设四个数为a，b，c
11、，d，且abcd，则六个和为a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d，其中a+b最小，a+c次小，c+d最大，b+d次大，a+d与b+c位第三和第四。得11.解：设这12个自然数从小到大依次为a1，a2，a3，a12，且它们两两相减最多只有2个差相等，那么差为1，2，3，4，5的都最多只有2个。从而a12-a11，a11-a10，a10-a9，a2-a1， 这11个差之和至少为2（1+2+3+4+5）+6=36， 但这11个差之和等于a12-a136。这一矛盾说明，两两相减的差中，至少有3个相等。12.解：设这8个物品的重量依次排列为：15a1a2a3a4a5a6a7a81。 小平找出的
12、这个物品重量为a5，第二轻的物品重量为a7。 由于a5加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和，因而第一次必须筛去3个比a5重的物品。这样就有以下四种可能：先考虑第一种情况。根据式，a4比a1至少轻3克，a5比a2，a6比a3也都至少轻3克，则a7比a8至少重 10克。根据式，a5比a4至少轻1克，则a6比a7至少重 18克。与已知矛盾，第一种情况不可能出现。按同样的方法，可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。最后，考虑第四种情况。a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少轻1克，则a7比a8至少重4克。根据式，a5比a4至少轻4克，则a6比a7至少重5克。这样得到的
13、这8个物品的重量分别为：a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克，a5=11克，a6=10克，a7=5克，a8=1克。小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克。13.若得分超过12分的学生至少有10人，则全班的总分至少有5（12+13）+5（0+1+2+3+4+5）=210（分），大于条件209分，产生了矛盾，故得分超过12分的学生至多有9人。14.解：从最低币值1角到最高币值14元8角，共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。经计算，应该剔除的币值为（i+0.4）元（i=0，1，2，14）及（j+0.9）元（j=1，2，3，13），一共29种币
14、值。所以，一共可以付出148-29=119（种）不同的币值。15.=2（8+9+97）+（97-8+1）=9540。16.解：先考虑ABCD是长方形的特殊情况，此时EFNM的面积是1。下面就一般情况求解。连结AC，AM，FM，CF，则17.解：为了使计算互不重复，我们取距离最远的两点A，B。先计算以A为左端点的所有线段，除B外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。同样，以B为右端点的所有线段，除A外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。这两类中点不会重合，加上AB的中点共有1996+1996+1=3993（个），即互不重合的中点不少于3993个。另一方面，当这1998个点中每两个相邻点的间隔都相等时，不重合的中点数恰为3993。这说明，互不重合的中点数至少为3993个。18.解：考虑特殊的通话过程：先由99人每人打一个电话给A，A再给99人每人打一个电话，这样一共打
