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1、专业好文档数学思想方法练习卷班别: 姓名: 学号: 得分:_1某次数学测验一共出了10道题,评分方法如下:每答对一题得4分,不答题得0分,答错一题倒扣1分,每个考生预先给10分作为基础分。问:此次测验至多有多少种不同的分数?2一支队伍的人数是5的倍数,且超过1000人。若按每排4人编队,则最后差3人;若 按每排3人编队,则最后差2人;若按每排2人编队,则最后差1人。问:这支队伍至少有多少人?3在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1,2,8,使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13?4有一个1000位的数,它由888个1和112个0组成,这个数是否可能是一个平方数?5如下图,四边形ABCD和E
2、FGH都是正方形,且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心,求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积S。6是否在平面上存在这样的40条直线,它们共有365个交点?7如右图,正方体的8个顶点处标注的数字为a,b,c,d,e,求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。8将n2个互不相等的数排成下表:a11 a12a13 a1na21 a22a23 a2nan1an2an3 ann先取每行的最大数,得到n个数,其中最小数为x;再取每列的最小数,也得到n个数,其中最大数为y。试比较x和y的大小。9将10到40之间的质数填入下图的圆圈中,使得3组由“”所连的4个数的和相等,如果把和数相等的
3、填法看做同一类填法,请说明一共有多少类填法?并画图表示你的填法。10有四个互不相等的数,取其中两个数相加,可以得到六个和:24,28,30,32,34,38。求此四数。11互不相等的12个自然数,它们均小于36。有人说,在这些自然数两两相减(大减小)所得到的差中,至少有3个相等。你认为这种说法对吗?为什么?12有8个重量各不相同的物品,每个物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法:(1)把8个物品分成2组,每组4个,比较这2组的轻重;(2)把以上2组中较重的4个再分成2组,即每组2个,再比较它们的轻重;(3)把以上2组中较重的分成各1
4、个,取出较重的1个。小平称了3次天平都没有平衡,最后便得到一个物品。可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。问:小平找出的这个物品有多重?并求出第二轻的物品重多少克?13.育才小学40名学生参加一次数学竞赛,用15分记分制(即分数为0,1,2,15)。全班总分为209分,且相同分数的学生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。14.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各1张,一元币4张,五元币2张,用这些纸币任意付款,一共可以付出多少种不同数额的款项?15.求在8和98之间(不包括8和98),分母为3的所有最简分数的和。16.如右图,四边形ABCD的面积为3,E,F为边A
5、B的三等分点,M,N是CD边上的三等分点。求四边形EFNM的面积。17.直线上分布着1998个点,我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问:至少可以得到多少个互不重合的中点?18.假定100个人中的每一个人都知道一个消息,而且这100个消息都不相同。为了使所有的人都知道一切消息,他们一共至少要打多少个电话?19.有4个互不相等的自然数,将它们两两相加,可以得到6个不同的和,其中较小的4个和是64,66,68,70。求这4个数。20.有五个砝码,其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问:这五个砝码的重量相等吗?为什么?数学思想方法练习卷答案1解:最高的得分为50分,最低的得分为0分。在
6、从0分到50分这51个分数中,有49,48,47,44,43,39这6种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有51-6=45(种)。2分析:从条件的反面来考虑,可理解为“若按每排4人编队,则最后多1人”。按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来,原题就化为:一个5的倍数大于1000,且它被12除余1。问:这个数最小是多少?解:是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因人数超过1000,3,4,5=60,最少有25+6017=1045(人)。3解:将八边形的8个顶点上的数依次记为a1,a2,a3,a8,则有S=a1+a2+a3+a8=1+2+3+8=36。假设任
7、意3个相邻顶点上的数都大于13,因为顶点上的数都是整数,所以a1+a2+a314;a2+a3+a414;a7+a8+a114;a8+a1+a214。将以上 8个不等式相加,得3S112,从而 S 37,这与S=36矛盾。故结论是否定的。4解:假设这个数为A,它是自然数a的平方。因为A的各位数字之和888是3的倍数,所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数,但888不是9的倍数,这样就产生了矛盾,从而A不可能是平方数。5.分析:我们先考虑正方形EFGH的特殊位置,即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况(见上图)。此时,显然有得答案后,这个问题还得回到一般情况下去解决,解决的方法是将一
8、般情况变成特殊情况。解:自E向AB和AD分别作垂线EN和EM(右图),则有S=SPME+S四边形AMEQ 又SPME=SEQN,故S=SEQN+S四边形AMEQ =S正方形AMEN=16. 分析与解:先考虑一种特殊的图形:围棋盘。它有38条直线、361个交点。我们就从这种特殊的图形出发,然后进行局部的调整。先加上2条对角线,这样就有40条直线了,但交点仍然是361个。再将最右边的1条直线向右平移1段,正好增加了4个交点(见上图)。于是,我们就得到了有365个交点的40条直线。7. 分析:从这8个数都相等的特殊情况入手,它们满足题目条件,从而得所求值为0。这就启发我们去说明a+b+c+d=e+f
9、+g+h。解:由已知得3a=b+e+d,3b=a+c+f,3c=b+d+g,3d=a+c+h,推知3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h,a+b+c+d=e+f+g+h,(a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0。8. 分析:先讨论n=3的情况,任取两表:1 37123 256 456 894 789左上表中x=6,y=4;右上表中x=3,y=3。两个表都满足xy,所以可以猜想xy。解:设x是第i行第j列的数aij,y是第l行第m列的数alm。考虑x所在的行与y所在的列交叉的那个数,即第i行第m列的数aim。显然有aijaimalm,当i=l,j=m时等号成立,所以xy
10、。9. 解:10到40之间的8个质数是11,13,17,19,23,29,31,37。根据题目要求,除去最左边和最右边的2个质数之外,剩下的6个质数在同一行的2个质数的和应分别相等,等于这6个数中最小数(记为a)与最大数(记为b)之和a+b。根据a,b的大小可分为6种情况:当a=11,b=29时,无解;当a=11,b=31时,有11+31=13+29=19+23,得到如下填法:当a=11,b=37时,有11+37=17+31=19+29,得到如下填法:当a=13,b=31时,无解;当a=13, b=37时,无解;当a=17,b=37时,无解。所以,共有2类填法。10. 解:设四个数为a,b,c
11、,d,且abcd,则六个和为a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,其中a+b最小,a+c次小,c+d最大,b+d次大,a+d与b+c位第三和第四。得11.解:设这12个自然数从小到大依次为a1,a2,a3,a12,且它们两两相减最多只有2个差相等,那么差为1,2,3,4,5的都最多只有2个。从而a12-a11,a11-a10,a10-a9,a2-a1, 这11个差之和至少为2(1+2+3+4+5)+6=36, 但这11个差之和等于a12-a136。这一矛盾说明,两两相减的差中,至少有3个相等。12.解:设这8个物品的重量依次排列为:15a1a2a3a4a5a6a7a81。 小平找出的
12、这个物品重量为a5,第二轻的物品重量为a7。 由于a5加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和,因而第一次必须筛去3个比a5重的物品。这样就有以下四种可能:先考虑第一种情况。根据式,a4比a1至少轻3克,a5比a2,a6比a3也都至少轻3克,则a7比a8至少重 10克。根据式,a5比a4至少轻1克,则a6比a7至少重 18克。与已知矛盾,第一种情况不可能出现。按同样的方法,可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。最后,考虑第四种情况。a1比a2至少重1克;a5比a3,a6比a4都至少轻1克,则a7比a8至少重4克。根据式,a5比a4至少轻4克,则a6比a7至少重5克。这样得到的
13、这8个物品的重量分别为:a1=15克, a2=14克, a3=13克, a4=12克,a5=11克,a6=10克,a7=5克,a8=1克。小平找出的这个物品重11克,第二轻的物品重5克。13.若得分超过12分的学生至少有10人,则全班的总分至少有5(12+13)+5(0+1+2+3+4+5)=210(分),大于条件209分,产生了矛盾,故得分超过12分的学生至多有9人。14.解:从最低币值1角到最高币值14元8角,共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。经计算,应该剔除的币值为(i+0.4)元(i=0,1,2,14)及(j+0.9)元(j=1,2,3,13),一共29种币
14、值。所以,一共可以付出148-29=119(种)不同的币值。15.=2(8+9+97)+(97-8+1)=9540。16.解:先考虑ABCD是长方形的特殊情况,此时EFNM的面积是1。下面就一般情况求解。连结AC,AM,FM,CF,则17.解:为了使计算互不重复,我们取距离最远的两点A,B。先计算以A为左端点的所有线段,除B外有1996条,这些线段的中点有1996个,它们互不重合,且到点A的距离小于AB长度的一半。同样,以B为右端点的所有线段,除A外有1996条,这些线段的中点有1996个,它们互不重合,且到点A的距离小于AB长度的一半。这两类中点不会重合,加上AB的中点共有1996+1996+1=3993(个),即互不重合的中点不少于3993个。另一方面,当这1998个点中每两个相邻点的间隔都相等时,不重合的中点数恰为3993。这说明,互不重合的中点数至少为3993个。18.解:考虑特殊的通话过程:先由99人每人打一个电话给A,A再给99人每人打一个电话,这样一共打