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1、北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合，根据并集定义求得结果.【详解】， 故选：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2.已知，且sin ，则tan ()A. B. C. D.
2、【答案】B【解析】由sin ， 得cos 所以tan 故答案为：B。3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】与在上单调递减，可排除；为偶函数，可排除；根据奇偶性定义和单调性的性质可验证出正确.【详解】中，在上单调递增 在上单调递减，错误；中，在上单调递增 在上单调递减，错误；中， 为偶函数，错误；中， 为奇函数在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，正确.故选：【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题.4.关于函数有下述三个结论：函数的最小正周期为；函数的最大值为；函数在区间上单调递减.其中，所有正确结论的序号是(
3、)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数为；根据正弦型函数最小正周期和最值的求解可知正确，错误；利用的范围求得的范围，对应正弦函数的单调性可得单调性，知正确.【详解】最小正周期，正确；，错误；当时，则在时单调递减，正确故选：【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题；处理正弦型函数单调性问题的关键是能够采用整体对应的方式，利用角整体所处的范围与正弦函数图象相对应，从而得到结论.5.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】通过反例可确定错误；由面面垂直的判
4、定定理可知正确.【详解】若且，则与相交、平行或，错误；若且，则与可能相交或平行，错误；由面面垂直判定定理可知，选项的已知条件符合定理，则，正确.故选：【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.6.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为与恒有两个交点，采用数形结合的方式作出图象，由恒过可通过图像确定斜率的临界值，进而得到所求范围.【详解】恰有两个零点等价于与恒有两个交点又，则图象如下图所示：恒过点如上图所示：当直线过时，直
5、线与有且仅有一个交点 且当时，与有且仅有一个交点当时，与恒有两个交点，即恰有两个零点故选：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为两个函数的交点个数问题，进而通过数形结合的方式来进行求解，属于常考题型.7.已知为等比数列，则“”是“为递减数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过且，可知虽然，但此时数列不是递减数列，充分性不成立；根据递减数列的定义可知必要性成立，从而得到结果.【详解】当等比数列且时，此时不是递减数列 充分性不成立当等比数列为递减数列时，显然成立 必要性成
6、立综上所述：“”是“为递减数列”的必要而不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到数列单调性的定义，属于基础题.8.设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第二象限.若为等腰三角形，则点的横坐标为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求得；根据等腰三角形可确定；由椭圆定义知；利用面积桥可求得，代入椭圆方程可求得.【详解】由椭圆方程得：，为等腰三角形且在第二象限 点纵坐标，又在椭圆上，解得：或（舍）故选：【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，关键是能够通过椭圆定义、焦距求得焦点三角形的面积，利用面积求得点的纵坐标，进而利用椭圆方程求得结果.9.在中，
7、点在边上，且，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取中点，根据平面向量基本定理可将已知数量积化为，根据数量积定义得到；利用余弦定理表示出，代入化简得到；根据三角形两边之和大于第三边和临界点的情况可最终确定取值范围.【详解】取中点，则，当重合时，不合题意 三点构成在中，由余弦定理得： ，即当与或重合时， 综上所述：故选：【点睛】本题考查向量模长的取值范围的求解问题，涉及到平面向量基本定理、平面向量数量积运算、余弦定理等知识的应用，综合性较强；解题关键是能够通过数量积的定值得到模长之间的等量关系，属于较难题.10.已知集合满足：（），；（），若且，则；（），若且，
8、则.给出以下命题：若集合中没有最大数，则集合中有最小数；若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数；若集合中有最大数，则集合中没有最小数；若集合中有最大数，则集合中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据并集和交集的结果可知；由条件（）（）可知两集合的元素以为分界，可确定集合的构成；当集合有最大数时，根据有理数的特点可知大于的有理数无最小数，知正确；当集合无最大数时，若中的为有理数或无理数，此时集合可能最小数为或无最小数，知正确.【详解】若， 则集合为所有小于等于的有理数的集合，集合为所有大于等于的有理数的集合 无限接近，即集合为所有
9、大于的有理数的集合当集合有最大数，即有最大值时，大于的有理数无最小数，可知正确；当集合无最大数，即时，为集合中的最小数；也可能为无理数，则，集合中无最小数，可知正确故选：【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知向量，且，则_【答案】【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可构造方程求得结果.【详解】 ，解得：故答案为：【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.12.某三棱锥的
10、三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_，最长棱的长度为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥，根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定理可求得最长棱.【详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三棱锥则，平面，最长棱故答案为：；【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图还原几何体，属于常考题型.13.已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】根据等腰直角三角形边长可求得弦长，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，根据垂径定理构造方程可求得结果.【详解】为等
11、腰直角三角形 ，又 又圆的圆心到直线距离，解得：故答案为：【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为，属于常考题型.14.已知，是实数，给出下列四个论断：；.以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】若，且，则（答案不唯一）【解析】【分析】利用在上的单调性，可知当时，从而得到结果.【详解】当，且时在上单调递减 ，即若，且，则故答案为：若，且，则（答案不唯一）【点睛】本题考查不等式性质的应用，属于基础题.15.已知函数（为常数）若，则_；若函数存在最大值，则的取值范围
12、是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下求得，利用求得；（2）当时，求导得；当时，可知时，不存在最大值，不符合题意；当时，可得在上单调性，得到；分别在、和三种情况下验证时函数的最大值，可得时，从而得到结果.【详解】（1）当时，满足题意；当时，不合题意；（2）当时， 若，则 在上单调递减此时，当时，当时，不合题意若，则时，；时，在上单调递增，在上单调递减 此时，当时，若，则当时，不合题意若，此时，满足题意若，则，此时，满足题意综上所述：时，存在最大值故答案为：；【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求
13、解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.16.年月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳原有的质量），则经过年后，碳的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到年之间（参考数据：）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）根据衰变规律，令，代入求得；（2）令，解方程求得即可.【详解】当时， 经过年后，碳的质量变为原来的令，则 良渚古城存在的时期距今约在年到年之间故答案为：；【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.在中，点在边上，且，.（）求的值；（）若，求的值.【答案】（）.（）【解析】【分析】（）在中，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（）在中，利用余弦定理求得；利用正弦定理可构造方程求得.【详解】（） 中，由余弦定理得：（）在中，由余弦定理得：由正弦定
