《构造函数解导数综合题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《构造函数解导数综合题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、构造辅助函数求解导数问题对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某个范畴内恒成立求参数取值范畴、讨论某些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或谋求其几何意义来解决；题目自身特点不同,所构造的函数可有多种形式，解题的繁简限度也因此而不同，这里是几种常用的构造技巧技法一：“比较法”构造函数典例(广州模拟)已知函数f（x)=exax(为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(,)处的切线斜率为-.(1)求的值及函数f()的极值;(2)证明：当时，x2ex解（1)由(x)ex-x，得(x)=ex-a由于f()=1-=-1，因此a=2,因此f(x)=ex-2x,f（x）ex
2、-2，令f（x)，得xl 2,当x0,f(x）单调递增因此当 2时,f（x）获得极小值，且极小值为f（n 2）eln-2ln 2=-ln ,f(x)无极大值.(2）证明:令g(x)exx2,则(x）=e-2x由（1)得g（x)=f（x）f（ln 2)，故(x）在R上单调递增.因此当时，(x）(0)=10，即2ex措施点拨在本例第(2)问中，发现“x2，x”具有基本初等函数的基因,故可选择对要证明的“xe”构造函数，得到“（x）e-x2”，并运用(1)的结论求解对点演习已知函数f(x)=,直线yg(x)为函数f()的图象在x=x0(x1)处的切线，求证:(x)g(x).证明:函数(x)的图象在x
3、x0处的切线方程为=(x)=f(x）(-x0)f（0).令h(x)=（)-g(x）f(）f(x0)(x-)(x0),则h(）f(x)-f(x0)=设(x)(1x)e-(1-x0)，则(x)e-(-x0）x，x，（x）0，当xx0时，(),当x，当x0时，h(x)0,h(x)在区间(，x0）上为增函数，在区间(x,+)上为减函数，h(x)h（x0）0,f（x）g(）.技法二：“拆分法”构造函数典例设函数f（x）=xln x+,曲线yf(）在点（1,f()）处的切线为y=e(x1).(1)求a，b；(2)证明：f（x）1.解(）f()=ae+(x)，由于直线ye(x-1)2的斜率为e，图象过点（,
4、2)，因此即解得()证明:由（1）知f（x)=exln x+(），从而f（x)等价于xln xe-x-.构造函数g(x)xln ,则(x)1+ln x,因此当时,g（x)h（x),即f(x)1措施点拨对于第（2)问“axln x+1”的证明,若直接构造函数h(x）=aexln x1，求导后来不易分析,因此并不适宜对其整体进行构造函数,而应先将不等式“axn ”合理拆分为“l xxe-”,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的目的. 对点演习已知函数f()=+,曲线y=f()在点（，f(1）)处的切线方程为x+2y30.()求，b的值;(2)证明：当x0,且x1时,f（).解:(1）f
5、（）=(x)由于直线x+2y-3=的斜率为,且过点(1,1)，故即解得(2)证明：由（）知f(x)=(x0)，因此（x)-=.考虑函数h(x)=l x-（x0)，则h(x)=.因此当x1时,h(x)0从而当x,且时，(x)0，即f(x)技法三：“换元法”构造函数典例已知函数f(x)=xln x(aR)的图象在点（1，f(）)处的切线与直线x+3y0垂直(1）求实数的值；(2）求证:当m0时，ln-n m-.解 （1)由于f(x)=a+ln ,因此(）=2axlx，由于切线与直线x3y垂直,因此切线的斜率为3,因此f(1)=3,即2a1=3，故a1.(）证明:要证l nln,即证ln，只需证ln
6、 -0令=x，构造函数(x）=l x-x(x）,则g(x)+1由于x1,),因此g(x)+0，故g(x)在(1,+)上单调递增.由已知m,得,因此gg(1)=,即证得ln -成立,因此命题得证.措施点拨对“待证不等式”等价变形为“ln+0”后,观测可知，对“”进行换元,变为“lx+x0”,构造函数“(x)=lnx-+x(x)”来证明不等式,可简化证明过程中的运算.对点演习已知函数（x)x2 x.(1)求函数f()的单调区间;(2)证明：对任意的t0,存在唯一的s，使tf(s);(3)设()中所拟定的s有关的函数为s=g（t),证明:当te2时,有),令f(x）0,得x当变化时，(),f(x)的
7、变化状况如下表：xf()0f（)极小值因此函数(x)的单调递减区间是,单调递增区间是()证明:当0x1时，f（x)0，t0,当x1时不存在t(s).令h(x)f（)-t，1，+)由（1)知,h()在区间(1，+)上单调递增(1）-0故存在唯一的s（1,+)，使得=f（s)成立()证明：由于s=g（t）,由（2)知,t=(s)，且s1，从而=,其中uln s.要使成立，只需l e，即u1，从而n0成立另一方面，令(u)ln u-,1，F（)，令F(u)=0，得u=2.当12时，F(u)0.故对u1，F()（2)0，因此lu2时，有0,只需证明ex+l(x+1)2设h(x)x+1-ln（1），则h
8、(x)ex1-.设p(x)=ex+，则p(x)=ex0,因此函数p（)=h(x)ex+1-在(-1，+)上单调递增.由于h=20,(0)e-10,因此函数（x)ex+1-在(-1，)上有唯一零点x，且x由于h(x0)=，因此x1，即ln(x01)(01).当x（1，）时,h()，当x（x0，）时,h(x)0,因此当x0时，h（x)获得最小值h(x0)，因此h(）h(0)e0+1-n(01)-=(x+1）-0综上可知，当m1时，f(）g（)-x3. 措施点拨本题可先进行合适放缩，m1时，xmx+1，再两次构造函数h(x)，p(）对点演习(合肥一模)已知函数f(x)exxln x,g(x)ex-x
9、2+x,tR,其中e为自然对数的底数(1)求函数f(x)的图象在点（1,(1)）处的切线方程；(2)若g()f(x)对任意的x(，+)恒成立,求t的取值范畴.解：（1)由f(x)exxl ,知f（）=n x1，则f(1)1，而f(）,则所求切线方程为-e(e)(x-1)，即y（e-1）x+1(2)(x)=exln x,g()=x2x，tR，g(x)f(x）对任意的x（0，）恒成立等价于extx2+xexxln 0对任意的x（，)恒成立,即t对任意的x(0,)恒成立令F(x)=,则F（x）,令(x)ex-ln x，则G()=x0对任意的x(0，+)恒成立G（)=ex+e-lnx在(0,+）上单调递增，且G()=0，当x(,)时,(x）,当x(,+)时,G()0,即当x(,)时，(x)0,当x（1,+）时,F（x)0，F（)在（,)上单调递减，在(1，)上单调递增，F(x)(1)1，t,即t的取值范畴是（，1
