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1、坐标系与参数方程一、知识要点1.极坐标系(1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做_,从O点引一条射线Ox,叫做_,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的 _,记为,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫做 点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x_,
2、y_.另一种关系为2_,tan _.2.简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线 (R) ;表示过(a,0)且垂直于极轴的直线 cos a ;表示过且平行于极轴的直线 sin b ; 表示过(1,1)且与极轴成角的直线方程sin()1sin(1) .(2)圆的极坐标方程表示圆心在(r,0),半径为|r|的圆 2rcos ;表示圆心在,半径为|r|的圆 2rsin ;表示圆心在极点,半径为|r|的圆 r .二、典型例题题型一直角坐标与极坐标的互化例1(1)把点M的极坐标化成直角坐标;(2)把点M的直角坐标(,1)化成极坐标.题型二极坐标方程例2在直角坐标系xOy中,
3、以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.题型三曲线的极坐标方程的应用例3已知直线和圆,若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求:(1)圆心C的直角坐标;(2)实数k的值.例4在平面直角坐标系中已知A(3,0),P是圆上一个动点,且的平分线交于点,求点的轨迹的极坐标方程。巩固练习1.点M(5,)为极坐标系中的一点,给出如下各点的坐标:(5,);(5,);(5,);(5,)其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是_(填序
4、号)2.在极坐标系中,圆心在(,)且过极点的圆的方程为_3.在极坐标系中,若点A,B的坐标分别为(3,),(4,),则AB_,SAOB_.(其中O是极点)4在极坐标系中,已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切,求实数a的值.5.从极点O作射线与另一直线cos 4相交于点M,在OM上取一点P,使OMOP12,求点P的轨迹方程.6.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2,22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.题型四参数方程与普通方程的互化例5把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:(1)(t为参数); (
5、2) (k为参数);(3) (为参数); (4)(t为参数).题型五参数方程的应用例6过点P作倾斜角为的直线与曲线x22y21交于点M、N,求PMPN的最大值及相应的的值.题型六极坐标、参数方程综合应用例7在直角坐标系xOy中,直线l的方程为xy40,曲线C的参数方程为(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.4.在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线 (t为参数)平行的直线的普通方程.5. 已知
6、圆C的参数方程为(为参数),P是圆C与y轴正半轴的交点,若以圆心C为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求过点P的圆C的切线的极坐标方程.6.已知直线C1:(t为参数),圆C2:(为参数).(1)当时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.7.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).M是C1上的动点,P点满足2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.8.在直角
7、坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,),求PAPB.9.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点,又点P的坐标为(1,2)。求:(1)线段的中点坐标;(2)线段的长;(3)的值.3.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的_,其中变量t称为_.4.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为的直线的参数方程为_(t为参数).(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为_(为参数).(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为_(为参数).(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为_(t为参数).