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1、坐标系与参数方程一、知识要点1.极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做_，从O点引一条射线Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的 _，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做 点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，). (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，
2、y_.另一种关系为2_，tan _.2.简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程表示过极点且与极轴成角的直线 (R) ；表示过(a,0)且垂直于极轴的直线 cos a ；表示过且平行于极轴的直线 sin b ； 表示过(1，1)且与极轴成角的直线方程sin()1sin(1) .(2)圆的极坐标方程表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆 2rcos ；表示圆心在，半径为|r|的圆 2rsin ；表示圆心在极点，半径为|r|的圆 r .二、典型例题题型一直角坐标与极坐标的互化例1(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(，1)化成极坐标.题型二极坐标方程例2在直角坐标系xOy中，
3、以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.题型三曲线的极坐标方程的应用例3已知直线和圆，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求：（1）圆心C的直角坐标；（2）实数k的值.例4在平面直角坐标系中已知A(3,0),P是圆上一个动点，且的平分线交于点，求点的轨迹的极坐标方程。巩固练习1.点M(5，)为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：(5，)；(5，)；(5，)；(5，)其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是_(填序
4、号)2.在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为_3.在极坐标系中，若点A，B的坐标分别为(3，)，(4，)，则AB_，SAOB_.(其中O是极点)4在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值.5.从极点O作射线与另一直线cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12，求点P的轨迹方程.6.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.题型四参数方程与普通方程的互化例5把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)(t为参数)； （
5、2） (k为参数)；(3) (为参数)； (4)(t为参数).题型五参数方程的应用例6过点P作倾斜角为的直线与曲线x22y21交于点M、N，求PMPN的最大值及相应的的值.题型六极坐标、参数方程综合应用例7在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.4.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线 (t为参数)平行的直线的普通方程.5. 已知
6、圆C的参数方程为（为参数），P是圆C与y轴正半轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求过点P的圆C的切线的极坐标方程.6.已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数).(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.7.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数).M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.8.在直角
7、坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PAPB.9.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），直线l与曲线C相交于A,B两点，又点P的坐标为（1,2）。求：（1）线段的中点坐标；（2）线段的长；（3）的值.3.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量t称为_.4.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为_(t为参数).(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为_(为参数).(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为_(为参数).(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为_(t为参数).
