《二项式定理10种考题的解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理10种考题的解法（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项式定理十种题型及解法1 .二项式定理：（a +b）n =C；an +C：an,b 十用 +C；anbr 十川十C：bn（nw N）,2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数C： （r =0,1,2,1n）.项数：共（r+1）项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r+1项C：anb叫做二项式展开式的通项。用TT=C；anb表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有（n +1）项。顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。依+9。与9 + 2）。是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列。b的指数从0逐项减到n,
2、是升 哥排列。各项的次数和等于n.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0,Cn,C2C,Cnn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4 .常用的结论：令 a =1,b =x, (1 +x)n =C0 +C：x +C：x2 +IH +C：x,+HI +C；xn(n w N*) 令 a=1,b =-x,(1 -x)n =C0 -C：x C2x2 -HI , C；x川(-1)nC；xn(n N )5 .性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0 nk k -1Cn =Cn ,Cn =Cn二项式系数和：令a =b = 1,则二项式系数的和为
3、C： +C： +C； +IH + C； +1 +C： = 2n ,变形式 Cn+C0+IH+C； +IH+C： =2n -1。奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令 a=1,b = -1,则 C：C：+C：C3+|+(-1)nCn=(1-1)n=0 ,AA 彳导至。+2 +4+2r +- +3+|H+2r*+工乂于一n, C，11IC C nC n C n 1,1 C n111 C nC n III C n 111 2 2 2奇数项的系数和与偶数项的系数和:n c。 n 01 n J.2n_2 2n 0 n12n(a x) = Cna x Cna x Cna x |
4、Cna x = a0 a1xa2x| anx(x +a)n =C；a0xn +Cnaxn，+Cl2a2xn2 +| +Cnanx = anxn + 川 + a2x2 + a1x1 +a0 令x=1, 则a0+a +a2 +a3|+an = (a+1)n令x = -1,贝1Ja0 -a1 +a2 -a3 +| +an =(a -1)n十得，a0 +a,+a4”| +an =、a 1 卡(a -(奇数项的系数和)2得，a1 +a3 +a5| +an = (a +1)n Ta )偶数项的系数和) 2n片取得最大值。n J n ： 1C；7 , C7同时取得二项式系数的最大项:如果二项式的事指数n是奇
5、数时，则中间两项的二项式系数如果二项式的事指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数最大值。系数的最大项: 求(a+bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 aA2,An书，设第r+1项系数最大，应有(A+A Ar 1 - Ar 2从而解由r来。6 .二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：Cn- C：6 -c362IIICn6nd=.角率(1 +6)n =C +C1 6+ C262 + C3,63 +IH +Cn16n 与尸知的有止匕美距川十(l 6) C n C n 6 Cn6 C n6 I” Cn6 J I八H 口 J，闩 /日用二)C1.c
6、2q.c32n n4 _.1/1 q.c22n nC n C n 6 C n 6 C n 6- (C n 6 Cn 6 C n 6 )6= 7(C+Cn 6+C2 62 +lll+C： 6n-1)=(1+6)n-1 = 1(7n-1)666练：Cn -3C2 9Cn -III - 3n4C； -.解：设 Sn =C：+3C：+9C；+|+3n，C；,贝UQG 01& . C2Q23 Q3nQn 001& 2&23&3n &nn3Sn=Cn3Cn 3Cn 3Cn 3= CnCn 3Cn 3 Cn 3Cn3 -I =(l 3) 7(1 3)n -14n -13 一 3题型二：利用通项公式求 xn的
7、系数;例：在二项式（+W2）n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的系数？解：由条件知 C：2=45,即 C：=45,.n2-n_90=0,解得 n = -9（舍去）或n =10 ,由12102Tr+=Cir0（x7）10（x3）r =C；oX=号，由题意l0r + 2r=3,解彳#r=6, 43则含有x3的项是第7项T6.=C；0X3 =210x3,系数为210。练：求（x2-L）9展开式中x9的系数？2x解：书=C；（x2）9上（-1）,=C；x18/r（）rx=C；（-l）rx,令 183r =9,则 r =3 2x22故x9的系数为C；（）3=W。22题型三：利用通项公式求
8、常数项；例：求二项式（x2+人）10的展开式中的常数项?5解：书=C1r0(x2)10(一=),=C；0(,)r x 2 ,令 20r=0,得 r=8,所以 =0()8=2,x 2,22256练：求二项式(2x-工)6的展开式中的常数项？2xr6 _pr 1 rrr6 -r 1 r6-2r/、3 3斛：Tr + =C6(2x)6 (-1)(工)=(-1)rC；26 (1)rx，令 6-2r =0 ,得 r =3 ,所以 T4 = (-1) C6 = -202x2练：若(x2+1)n的二项展开式中第5项为常数项，则n =. x4. 2 .n 1 .44 2n 42 人n 彳日 n _ 公用牛.T
9、5 =Cn(x ) (-) =Cnx , 2n 12 = 0 ,付 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式（6-次）9展开式中的有理项?解：Tr*=C；（x2）9（-x3）r =（-1）C；x丁，令竺Z,（ 049）得=3或=9,6所以当 r=3 时，丝=4, T4 =(-1)3C；x4 = -84x4 ,627 r3c9 33r =9 口,=3 , T10 = ( -1) C9x = x 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(口一二厂展开式中偶数项系数和为一256,求n.、x解：设(口 一工)n展开式中各项系数依次设为a。-3 x2令x
10、 = 1，贝u有 a。+a + an =0,， 令x=1，则有 a。a1+a2-a3 + + (-1)nan = 2n,将-得：2(a +a3 +a5 + ) = -2n,aI +a3 +a + =2n，有题意得， -2n=256 =-28 ,，n=9。练：若(. +，/y的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解c0 +C2+C4 +C2 r + .yC1+C3 + C2r书 + =2n)- 2n=1024解得 n =11n nn nnnnn所以中间两个项分另I为n=6,n=7, 丁5书=可(4)6,J)5 = 462，x，丁6用=462 )飞题型六：最大系数，最大项；例：
11、已知(；+2x)n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列， 求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：C：+C6 =2C1. n2 -21n+98=0，解由n=7或n=14,当n=7时，展开式中二项式系 数最大的项是T4和丁5二丁4的系数=C；(1)423 =35, , T5的系数=C；(：)324 = 70，当n = 14时, 展开式中二项式系数最大的项是丁8, .的系数=C74(1)727 =3432。2练：在(a+b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的事指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n =书，也就是第n+1项。练：在弓一尸的展开
12、式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是2 x多少?解：只有第5项的二项式最大,则n+，5,即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于C6（1）2 =72例：写由在（a.b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?解：因为二项式的事指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等,且同时取得最大值，从而有 T4 = -C3a4b3的系数最小，T5 = C；a3b4系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（；+绅的展开式中系数最大的夕2(1 4x)12项？解：由 C； +C：+C； =79，解由 n=12，假设 Tr4项最大,，:g + 2x）12rA-Ar=卜1
13、r24r 爪二4 二 化简得到 9.4r10.4,又 ：0 E r M12 ,r = 10 ,展开A. AC；2 4r . C；214r 1式中系数最大的项为Tn，有T11 -（1）12C10410x10 -16896x102练：在（1+2x）10的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr十项最大，,: Tr + =C；0 2rxrAr1 -Ar_ C；02r -C；02rAr1 -A.2 C；02r _C，2解得TH），化简得到又10,，r=7,展开式中系数最大的项为T8=C：o27x7 =1536Ox7.题型七：含有三项变两项;例：求当（x2+3x+2）5的展开式中x的一次项的系数?解法：
14、(x2+3x+2)5 =(x2+2)+3x5 , Tt =c!(x2+2)5(3x)r ,当且仅当 r = 1 时，Tr书的展开式中才有x的一次项，此时Tr+=T2=c5（x2+2）43x,所以x得一次项为_ 1 _ 4 _ 4 _C5C42 3x它的系数为C5C： 243 = 240 。解法：(x2 +3x +2)5 =(x +1)5(x+2)5 =(C；x5 +C5x4 + +C55)(C；x5 +C5x42 + + C；25)故展开式中含x的项为C54xC525 +C：x24 =240x ,故展开式中x的系数为240.练：求式子（+ -2）3的常数项?（冈+冈一2）3 =（烟解:上)6,设第r+1项为常数项，则,xT.4=C；(1)r x6- (l)r =(1)6C； x6口，得 6 2r=0, r=3,T3邛=(1)3C； =20 .冈题型八：两个二项式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数.解：(1+2x)3的展开式的通项是cm，(2x)m =cm 2m xm,
