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1、椭圆高考典型题型归纳题型一.定义及其应用A(4,0),求这个动圆圆心 M的轨迹方程;22例1.已知一个动圆与圆 C:(x+4) +y =100相内切，且过点例2.方程3j(x1)2+(y _1)2 = x+J2y +2所表示的曲线是 练习：1 .方程 J(x3)2 +y2 + J(x+3)2 +y2 =6对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆2 .方程 J(x3)2 +y2 + J(x +3)2 + y2 = 10对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆3 .方程 收 +(y+3)2 + + Jx2 +(y -3)2 = 10成立的充要条件是()22222222“ xy.xy.x
2、y.xy.A.=1 B.=1 C.= 1 D.= 1251625916259254 .如果方程 Jx2 +(y +m)2 + + Jx2 +(y -m)2 =m+1表示椭圆，则 m的取值范围是 2 一 25 .过椭圆9x +4y =1的一个焦点三的直线与椭圆相交于 A,B两点，则A,B两点与椭圆的另一个焦点F2构成的MBF2的周长等于；6 .设圆(x+1)2 +y2 =25的圆心为C , A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段 AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点 M ,则点M的轨迹方程为 题型二.椭圆的方程(一)由方程研究曲线22例1.方程 L+匕=1的曲线是到定点 和 的距离之和
3、等于 的点的轨迹；16 25(二)分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0),求椭圆的方程；(三)用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点R(J6,1)、P2(-J3,-J2),求椭圆的方程;例4.求经过点(2, -3)且与椭圆9x2 +4y2 = 36有共同焦点的椭圆方程;2222注：一般地，与椭圆 二十=1共焦点的椭圆可设其方程为-x+y=1(k-b2);a2 b2a2 k b2 k(四)定义法求轨迹方程;例5.在AABC中，A,B,C所对的三边分别为 a,b,c,且B(1,0), C(1,0),求满足b a
4、 a a c且b,a,c成等差数列时顶点A的轨迹;(五)相关点法求轨迹方程；2例6.已知x轴上一定点A(1,0), Q为椭圆上+ y2 =1上任一点，求 AQ的中点M的轨迹方程；4(六)直接法求轨迹方程；例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 +2y2 =4交于A,B两点，点P是直线l上满足 PALPB =1的点，求 点P的轨迹方程；(七)列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为 F (0, J50)的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为工，求此椭圆的方2程；题型三.焦点三角形问题225例1.已知椭圆、+ L=1上一点P的纵坐标为5,椭圆的上下两个焦点分别为F2、F1,求PF1、
5、PF2及16 253cosF1PF2;例2.题型四.椭圆的几何性质x2 y25例1.已知P是椭圆 一十=1上的点，的纵坐标为 一，、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c,a b3则PF1LPF21的最大值与最小值之差为 22x y例2.椭圆+2=1 (a b0)的四个顶点为 A, B,C, D ,若四边形 ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的 a b离心率为;22i例3.若椭圆心一 +匕=1的离心率为，则k =；k 14222例4.若P为椭圆 与+2r = i(ab 0)上一点，Fl、F2为其两个焦点，且 /PFiF2=15O, NPF2Fi = 75,a b则椭圆的离心率为题型五.求范
6、围 22例1.方程 J + y2 = 1表示准线平行于X轴的椭圆，求实数 m的取值范围；m (m -1)题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程2j(x1)2 +(y _1)2 = x+y+2所表示的曲线是 1 ,一， 例2.求经过点M (1,2),以y轴为准线，离心率为 -的椭圆的左顶点的轨迹方程；2x2 y25例3.椭圆一十匚=1上有一点p,它到左准线的距离等于一，那么P到右焦点的距离为259222例4.已知椭圆 已+匕=1,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M ,使它到左准线的距离为它到43两焦点F1,F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。22例5 .
7、已知椭圆 J + L=1内有一点 A(1,1), F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点p是椭圆上一点.求953 ，一，一 ，一PA + PF2的最小值及对应的点 P的坐标.2题型七.求离心率22例1.椭圆 ) +与=1(aAb0)的左焦点为F1(-c,0) , A(-a,0) , B(0, b)是两个顶点，如果F,到直线AB的 a b距离为则椭圆的离心率第1页22例2.若P为椭圆 与+，=1(aAbA0)上一点，E、F2为其两个焦点，且 /PF1F2=a , /PF2F1=2o(,则 a b椭圆的离心率为例3. FF2为椭圆的两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P,Q两点，PFi _L PQ ,
8、且 PF11TpQ, 则椭圆的离 心率为;题型八.椭圆参数方程的应用 22例1. 椭圆 七十匕=1上的点P到直线x-2y + 7 =0的距离最大时，点 P的坐标43例2.方程x2 sin a - y2 cosot =1( 0 久0)与连结A(-1,1), B(2,3)的线段没有公共点，求 a的取值范围。例3.过点P(-J3, 0)作直线l与椭圆3x2 +4y2=12相交于A, B两点，O为坐标原点，求AOAB面积的最大值 及此时直线倾斜角的正切值。yyx AP_ _O xB分析：若直接用点斜式设l的方程为y -0 = k(x + J3),则要求l 的斜率一定要存在， 但在这里l的斜率有可能不存
9、在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为x =my - J3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化 了运算。解：设 A(Xi, y1)，B(x2, y?) , l : x = my -31 1_S.AOB =1|OP I y1 I -|OP| y2 1= ,3(| y1 | . |y2|) =、3(y1 - y2) 22把 x = my J3代入椭圆方程得：3(m2y2 2，3my+3)+4y2 12 =0 ,即2.、2(3m +4)y 6,3my3=0, y1 + y26 . 3m3m24ym =33m24I Vi,108m212y2 |- (3m2 4
10、)2 3m2 42144x2 483m2 44 9m2 3 4 3 3m2 1 二 4 3 3m2 13m2 4 3m2 4(3m2 1) 34.3m, 4 3 八: 二23m2 1 233 m之1S x 2 = 33 ,此时 J3m2 +1 = , 32.,3m2 1m) 33、66令直线的倾角为 a ,则tana = = 3即AOAB面积的最大值为 J3，此时直线倾斜角的正切值为 士 。、622例4.求直线xcosH +ysin日=2和椭圆x2+3y2 =6有公共点时，0的取值范围(0 9 0),则直线l的方程为y =x xo,设直线l与椭圆相交于y = x -x0222 22,可得 3x
11、 4xx+2x。12=0,x2 2y2 =12一 2 一4x02x0 -12x1 + x2 = , x1 x2 =,则33|x1 -x2尸毋1 , x2)2 -4xix2 二2216xo8x0 - 48号362%2皿二日 反x2|,即口 =行2 436?3332x0 =4 ,又 x 0 , . . % =2 ,A(2,0);例2.椭圆ax2+by2 =1与直线x + y=1相交于A, B两点，C是AB的中点,若|AB|=272, O为坐标原点，OC的斜率为三2,求a, b的值。222例3.椭圆 +L=1的焦点分别是Fi和F2,过中心。作直线与椭圆交于 A,B两点，若&ABF2的面积是20, 4
12、5 20求直线方程。)弦所在直线方程例1.已知椭圆 人+匕=1,过点P(2,0)能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P;16 4例2.已知一直线与椭圆4x2+9y2 =36相交于A,B两点，弦AB的中点坐标为 M (1,1),求直线 AB的方程;例3.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上，其离心率e = J2,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于A, B两点,且C分有向线段AB的比为2, 11)用直线l的斜率k(k *0)表示AOAB的面积；(2)当AOAB的面积最大时，求椭圆 E的方程.解：(1)设椭圆E的方程为 J+4=1,由e= =J2a2=3b2a ba 3故椭圆方程x2 +3y2 =3b2;设A(x1,yj B(X2,y2),由于点C(1,0)分有向线段AB的比为2.X +2X2 =_13 一一即俨 +1-。小牛2丫2 _0)1=-2y23 一r 2 +2 2 _2卜2由Xy 消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0j=k(x+1)由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点A=36k4 -4(3k2 +1)(3k2 -2b2) 06k3k23k -3b由得：x2 1 = - 一3k一，代入得:1SpAB叫.3k2(2)因 S oab
