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1、导数在生活中应用实例分析导数知识是学习高等数学的基础，它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用类型一环境问题例1烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A、E两座烟囱相距2Okm,其中E座烟囱喷出的烟尘量是A的8倍，试求出两座烟囱连线上的点C，使该点的烟尘浓度最低分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低，显然其烟尘浓度源自这两
2、座烟囱，与其距离密切相关，因此可考虑先设出与某个烟囱的距离，从而表示出相应的烟尘浓度，再确定其最小值即可解不妨设A烟囱喷出的烟尘量是1,而E烟囱喷出的烟尘量为8,设AC=x（其中OVxV20）,所以BC=20-x,依题意得点C处的烟尘浓度y=k/X2+k8/（20-x）2（其中k是比例系数，且k0）.y/=2k(3x20)(3x2+400)x2(20x)2.令y=0得(3x20)(3x2+400)=0又0VxV20，所以x=20/3因为当x(0,20/3)时，yV0;当x(20/3,20)时,y0,故当x=20/3时，y取得最小值，即当C位于距点A为20/3km时，使该点的烟尘浓度最低.类型二
3、工程造价问题例2某地为了开发旅游资源，欲建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为。(0V9V90),且sinB=25,点P到平面a的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AE可供利用从点O到山脚修路的造价为Q万元/km,原有公路改建费用为a2万元/km当山坡上公路长度为1km(112)时，其造价为(12+1)a万元.已知OA丄AE,PE丄AE,AE=1.5(km),OA=3km.(1) 在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；(2) 对于(1)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；(3)在A
4、B上是否存在两个不同的点D、E,使沿折线PDEO修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价，证明你的结论分析由题意知要求修建公路的总造价最小值，可以先建立相应的总造价函数关系式，再确定其最小值即可.解(1)如图，PH丄a,HBa,PBXAB,由三垂线定理逆定理知，ABXHB,所以ZPBH是山坡与a所成二面角的平面角，则ZPBH=9,PB=PHsinO=1.设BD=x,0x1.5.则PD=X2+PB2&=X2+1&1,2.记总造价为f(x)万元，据题设有f(x)=(PD2+1+12AD+AO)4=(x212x+114+3&)q=x14(2a+4316+3&)a.当x=14,即BD=14(km)
5、时，总造价f1(x)最小；(2) 设AE=y,0y0,f2(y)在(1,54)内是增函数.故当y=1，即AE=1时总造价f2(y)最小，且最小总造价为6716a万元；(3) 不存在这样的点D、E.事实上，在AB上任取不同的两点D、E.为使总造价最小，E显然不能位于D与B之间.故可设E位于D与A之间，且BDZ=xl,AE=y1,0xl+y2w32，总造价为S万元，则S=x2l-x12+y21+3&y12+114+a.类似于(1)、(2)讨论知,x21x12116,y21+3&y12A32,当且仅当x1=14,y1=1同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时BD=14,AE=1,S取得最小值6
6、716a,点D、E分别与点D、E重合，所以不存在这样的点D、E，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价.类型三最省钱车速问题例3统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:y=1128000x3380x+8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析要求确定从甲地到乙地要耗油量,这就涉及行驶时间与车速,因此根据题意先写出耗油量与车速间的关系,再利用导数知识确定
7、其最小值.解(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时,要耗油1128000X403380X40+)8X2.5=17.5(升).所以当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升；(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(1128000x3380x+8)100x=11280x2800x154(0VxW120),h(x)=x640800x2=x3803640x2(0Vx0,h(x)是增函数.当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所
8、以它是最小值.所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.四、借助物理知识排列组合中有分类计数原理和分步记数原理.如果把这两个原理分别理解成电学中的并联和串联,并用此思想解答某些问题,显得特别方便快捷.例4甲、乙、丙3人独立地破译1个密码,他们能译出此密码的概率分别为15、13、14,则3人合作能译出此密码的概率解析3人破译密码，是相互独立而不互斥的事件，可以看成是并联问题，只要其中有1个或多人译出密码，问题即解决，故3人合作能译出密码的概率为：P(A+E+C)=1-P(AEC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-(1-1/5)(1-1/3)(1-1/
9、4)=3/5.五、借助表格知识运用表格解概率问题，可以使复杂问题条理化、抽象问题直观化，从而达到化难为易的目的.例5个均匀的正方体玩具的各个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，将这个玩具先后抛掷两次，试问：(1)向上的数之和为5的概率是多少？(2)向上的数之和至少是9的概率是多少？(3)向上的数之和为多少时概率最大？678910111256789101145678910345678923456781234567123456解析将正方体玩具先后抛掷两次可能出现的36种结果用图表来表示(如图)，所有的答案都可在图形中寻找(1)向上的数之和为5的概率是436=19;(2)向上的数之和至少是9的概率
10、是10/36=5/18；(3)由图知向上的数之和为7时有6种情形，概率最大，最大概率为1/6总结除了上诉例子，对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存
11、在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数
12、在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。
