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1、有关傅里叶变换分析的学科发展史及对现代通信技术的影响一、傅里叶生平让巴普蒂斯约瑟夫傅里叶(法语：Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日一 1830年5月16日)，法国数学家、物理学家，提出傅里叶级数，并将其应用于热传导理论 上，傅里叶变换也以他命名。傅里叶于1768年3月21日在法国约讷省欧塞尔出生。由于很早的时候他的父母就 双亡，所以小时候便在天主教本笃会受的教育。毕业后在军队中教授数学，在1795年他到 巴黎高等师范教书，之后又在巴黎综合理工学院占一教席。1798年他跟随拿破仑东征，被 任命为下埃及的总督。由于英国舰队对法国人进行了封锁，所以他受命在
2、当地生产军火为远 征部队提供军火。这个时期，他向开罗埃及学院递交了几篇有关数学的论文。1801年，拿 破仑的远征军队远征失败后，他便被任命为伊泽尔省长官。1816年他回到巴黎，六年后他 当选了科学院的秘书，并发表了热的分析理论一文，此文建立是在牛顿的热传导理论的 速率和温度差成正比的基础上。1830年5月16日他病逝于巴黎，1831年他的遗稿被整理出 版成书。二、傅里叶变换傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义， 首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示 为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法
3、利用直接测量到 的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法 仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。”任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正 弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1.傅 立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子;2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而 且形式与正变换非常类似;3.正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的 求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算，从 而提供了计算卷积
4、的一种简单手段；5.离散形式的傅立叶的物理系统内，频率是个不变的性 质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；4 .著 名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为 快速傅立叶变换算法(FFT)。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、 统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。快速傅氏变换(FFT)是离散傅氏变换(DFT)的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、 偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有 新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字
5、系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一 大步。设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一 X (m)的计算都需要N次复数乘法 和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等 于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”(四次实数乘法和 四次实数加法)，那么求出N项复数序列的X (m)，即N点DFT变换大约就需要N2次运 算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期 性和对称性，把一个N项序列(设N=2k,k为正整数)，分为两个N/2项的子序列，每个N/2 点DFT变换需要(N/2)
6、2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N 点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2 (N/2) 2=N+N2/2。继续上面的 例子，N=1024时，总的运算次数就变成了 525312次，节省了大约50%的运算量。而如果 我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N 点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前 的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。三、傅里叶变换在小波分析中的发展历史傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域内的定位性是完全准
7、确的（即频域 分辨率最高），而在时域无任何定位性（或分辨能力），也即傅里叶变换所反映的是整个信号 全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频域信息。当一个函数用5函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何 定位性（或分辨率），也即5函数分析所反应的只是信号在全部频率上的整体时间特征，而 不能提供任何频率所对应的时间特征。对于一些常见的非平稳的信号，如结构振动信号、地震波、探地信号等等，它们的频 域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号，分析时通常需要提取某一时间段（或 瞬间）的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。短时傅里叶变换（Short Time Fo
8、urier Transform，简称STFT，又称为加窗傅里叶变换）， 但由STFT的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而且保持不变，只适用 分析所有特征尺度大致相同的过程，对于分析时变信号是不利的。高频信号一般持续时间很 短，而低频信号持续时间较长，因此，人们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号 则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT的固定时窗（窗 不随频率发生变化）的特性是矛盾的，这表明STFT在处理这一类问题时已无能为力了。此 外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，以节约计算时间及存储量。但 Gabor 基无论如何离散，都不能构
9、成一组正交基，因而给数值计算带来了不便。这些Gabor变换的 不足之处，恰恰是小波变换的特长所在。小波变换不仅继承和发展了 STFT的局部化的思想， 而且克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交的缺点，是一种比较理想的进行信号处理 的数学工具。Jean Baptiste Joseph Fourier虽已去世100多年了，但其卓越的工作却因对热的传播和扩 散的研究，在现代谱分析中的两个重要的方面产生了极其深远的影响。如果我们了解Fourier 级数展开中的两个要素是正弦谐波项和系数项，那么我们可以发现这样的事实：1. 1807年，Fourier发现在表示一个物体的温度分布时，正弦函数及其谐波的级
10、数是非 常有用的。2. Fourier进而断言，“任何”周期信号都可用具有谐波关系的正弦函数级数表示。3. 但在Fourier的后续研究中，有关Fourier级数部分的数学结论并不严密。4. 在Fourier级数的系数公式中，Fourier本人可能还没有意识到正交特性，尽管在他 之前已经存在函数正交的概念了。5. 在Fourier之前，至少D. Bernoulli就曾提出过一根弦的运动完全可以用标准振荡模 （正弦谐波）的线性组合来描述。6.只有在P. L. Dirichlet给出他的著名的三个充分条件之后，在这些条件约束下，我们知道一个周期信号才可以用一个Fourier级数表示。由此可见，Fo
11、urier实际上并没有对Fourier级数的数学理论做出实质性的贡献。那么科 学上为什么仍然以Fourier的名字来命名周期函数的级数展开和非周期函数的积分变换呢? 这是因为Fourier敏锐地洞察出这个级数表示法的潜在应用价值，而且正是由于他的努力才 真正推动了 Fourier，级数问题的深入研究。另外，Fourier在这一问题上的研究成果比他的 前辈们都大大前进了一步，主要体现在他得出了非周期信号的描述形式不是正弦信号高次谐 波的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分，这就是众所周知的从傅里叶级数 到傅里叶积分（或变换）的推广。与信号的傅里叶（级数）分析一样，傅里叶变换仍然是今天分 析LTI系统最有力的工具之一。Fourier的贡献就在于他将前人的这些思想巧妙地综合到一起，抛弃于繁杂的数学求证 过程，直接了当地申明任何函数均可用正弦谐波函数的无穷和来表示。的确，正弦信号（进 而傅里叶级数和傅里叶变换）在科学研究的和工程应用的大量问题中起着重要的作用。例如， 交流电产生的电压和电流，行星运动的周期，气候的周期性变化等都很自然地会用到正弦信 号；海浪也可认为是由不同波长的正弦函数的线性组合形成；无线电台和电视台发射的信号 基本上也是正弦函数；甚至今天最新的短时FFT、小波变换等也是以Fourier变换为其基础 的。.
