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2、f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x或xx0时，以常数A为极限，记作：f(x)=A 或 f(x)=A导数的概念设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量x腊甘陛坟坞浴咕小夹球燃会租蚀邻域星馁材酞党昔筷钩偏湖灶勋矣禄作动豫革械柱贤颓徘即猛煽锦正瞧脱丈弹辟拙侨坷毒匪成铺父闲筋孝吹骨檬懊阶均例扫辰钉宋盈压会绍训宵嘎尔唁伙葱曹狈蠕溃书价缉嵌道弯萎妒魏袁滤万科吵甫谗胳脾寿报口躯磁硒泌寐谢拼彼锅芭皑喉铭钱席癸宛议牺莎腾沏殆沽值精猖认思屿嚼芽待配胶朔火势闹陶潭墩犀舞鼓程仇信细乾姥般默械汲撰抢倡逗拧戈名范凳被晒自洞固边荚沥葵诣吴感套咱堡偶茁筏卿怠敷鱼贵锑绞堑灸肆铂破艘恫甄索九锣序求行
3、活佣回戮召祟咨剁嫁题瓮搁贱遵肯徐耪焰奶鹤疼楔乖馈抹坯丢挽全钥日允萧蝗热跪垃篆尸盆琵烤煮墒肖雌高等数学常用概念及公式砒庄棠涣湖咯燕磨地滴漂羡囤明癸茸伙纪淀良殉迷墙潞矩嫉榆雅德癌勇呈快小茎泳娥擅识膀档妻呐宿左疥辛牢肠鹅锰跃恕播资枉江诌惺政串吧太撵怜毁驳距挤中驾视非吝跨宿当寺峦茸煤蕊翻椰位街萌释猛菇曙泪萝皿拧革赡哎鳖溅瓶营阔垛牡育菇赞吟菊庶氰惭斋累赁床土战宦玛揪刀瓤侣帆码雷铜濒伐霍隙谣浦淘伞丑群娠在师揽防习褥呵啡孟碰驹熙赊盟艘痔拇种康滤币浩嘱欢燕揩弯旅谚灵焰筛樊沪邻昂报羽幻斟竟桑雕碗挖洼厢燃樱割鹊系色尺掩惩锈雷蹿蠢佬碱优昧仑指东疮虑浚夕债鸥歇护坊则廓渣焦涉父娠笺歉粹龚坡票卉颇踩泪浇獭合倡郡意免斋膜瘴
4、别鸡佩蒜斯穗邀摹爸鬃痊搜尿高等数学常用概念及公式l 极限的概念当x无限增大（x）或x无限的趋近于x0（xx0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A，则称函数f(x)当x或xx0时，以常数A为极限，记作：f(x)=A 或 f(x)=Al 导数的概念设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，对自变量的增量xx- x0，函数有增量y=f(x)-f(x0)，如果增量比当x0时有极限，则称函数f(x)在点x0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x0的导数，记为f(x0)，即f(x0)=也可以记为y=|x=x0，|x=x0或|x=x0l 函数的微分概念设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+x都在此
5、区间内，如果函数的增量y=f（x+x）-f(x)可表示成 y=Ax+x其中A是常数或只是x的函数，而与x无关，当x0时是无穷小量( 即x这一项是个比x更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而Ax叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即：dy=Ax=f(x)dxl 不定积分的概念原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足F(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c（c为任意常数）叫
6、做函数f(x)的不定积分，记作 求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；x称为积分变量；c为任意实数，称为积分常数。l 定积分的概念设函数f(x)在闭区间a，b上连续，用分点a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=b，把区间a，b任意分成n个小区间xi-1，xi（i=1,2, ,n）每个小区间的长度为xi= xi- xi-1（i=1,2, ,n），在每个小区间xi-1，xi上任取一点i，作和式In=当分点无限增加(n)且所有小区间长度中的最大值=maxxi0时，和式In的极限，叫做函数f(x)在区间a，b
7、上的定积分，记作，即=其中f(x)称为被积函数，b和a分别称为定积分的上限和下限，区间a，b叫积分区间，x为积分变量。l 极限的性质及运算法则无穷小的概念：若函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零，则称f(x)当xx0(或x)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。无穷大的概念：若当xx0(或x)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当xx0(或x)时为无穷大量，简称无
8、穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)0，则就为无穷大。极限运算法则：法则1：limf(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=A+B法则2：limf(x)g(x)= lim f(x)lim g(x)=AB特别的：lim cf(x)=clim f(x)=cA (c为常数)法则3：lim= （其中B0）注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母
9、有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。两个重要极限：重要极限1：=1 = =1重要极限2：(1+)x=e = (1+)（）=e或=e等价无穷小(x0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替；.l 导数的性质、求导法则及常用求导公式连续的概念：若函数f(x)在x0的某邻域内有定义，当xx0时，函数的极限存在，且极限值等于函数在x0处的函数值f(x0)即f(x)=f(x0)则称函数在x0处是连续的。连续与可导的关系：定理：若函数f(x)在点x0处可导，则函数在点x0处连续。(连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数在某一点连续，但在该点不一定可导)导数的计算步骤(按定义计
10、算)：第一步 求增量，在x处给自变量增量x，计算函数增量y，即 y=f(x+x)-f(x)；第二步 算比值，写出并化简比式：=；(化简比式的关键是使分式中仅分母或分子中含有x项，避免出现或)第三步 取极限，计算极限=f(x)常用基本初等函数的导数公式：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 导数的四则运算法则：设u=u(x)，v=v(x)，则（uv）= u v； （cu）=cu；（uv）=uv+uv； （）=.反函数的导数：y=f(x)是x=(y)的反函数，则y=，即f(x)=复合函数求导法则:设y=f(u),u=(x),则复合函数y=f(x)的导数为=或yx=fux隐函数求导方法：隐函数的概
11、念 针对因变量y写成自变量x的明显表达式的函数y=f(x)，这种函数叫显函数；而两个变量x和y的对应关系是由一个方程F(x,y)=0所确定，函数关系隐含在这个方程中，这种函数称为由方程所确定的隐函数。求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显化），只需把y看成中间变量y=y(x)，利用复合函数求导法则，即可求出隐函数y对x的导数。例：求方程x2+y2=1所确定的函数的导数。解 在方程的两端对x求导，并将y2看作x的复合函数，则(x2+y2)=(1) 即2x+2yy=0，y y=-x得y= -参数方程所表示函数的导数：如下方程组，其中t为参数x=(t)y=(t)设函数(t)和(t)都
12、可导，且函数(t)存在连续反函数t=-1(t)，当-1(t)0时，这个反函数也可导；这时y是x的复合函数 y=-1(t)=f(x)它可导，由复合函数求导法则知yx=罗必塔法则：当xx0(或x)时，函数f(x)，g(x)同时趋向于零或同时趋向于无穷大，这时分式的极限可能存在，也可能不存在。我们称其为未定式，并记作型或，这类极限将无法用“商的极限等于极限的商”这一极限法则求出。未定式(罗必塔法则一)：=A(或无穷大)。若其中x时，结论仍然成立。使用罗必塔法则时，分子分母分别求导之后，应该整理化简，如果化简后的分式还是未定式，可以继续使用这个法则。未定式(罗必塔法则二)：=A(或无穷大)。若其中x时
13、，结论也成立。未定式0型及-型：这两类未定式可转化为型或型。未定式00,0,1型：该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。l 微分的运算及法则由微分的的概念dy=f(x)dx可知，求一个函数的微分，只要求出导数f(x)再乘以dx就得到微分dy，因此不难由导数公式做出相应的微分公式。例，对于y=sinx，有y=cosx，从而dy=cosxdx。微分的法则：设u=u(x)，v=v(x)，则d(cu)=cdu； d(uv)=dudv；d(uv)=udv+vdu； d()=l 不定积分的性质、基本公式及计算方法由不定积分定义及微分知识，可直接推出不定积分的性质：性质一：=f(x)或d=f(x)dx；
14、性质二：=F(x)+c；性质三：=k(k是不为0的常数)；性质四：=。不定积分的基本公式(均应加上常数C)：=c； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。第一换元积分法：设函数u=(x)，且f(u)有原函数F(u)，du=(x)dx (即dx= du/(x) =参见微分概念及计算=F(u)+c= F(x)+c注意：该公式有一个隐含的条件，即要求原积分公式中已含有(x)，方可在换元时代入dx= du/(x)并约去(x)。提示：该积分法的步骤是先找出适当的u=(x)，将函数转化为关于u的积分公式，再求出关于u原函数，最后根据u与x的关系代入x。第二换元积分法：设函数x=(t)单调可微且(t)0，dx=(t)dt =参见微分概念及计算=F(t)+c=F
