三个二次及其关系

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1、word二次函数、二次方程与二次不等式的关系三个“二次即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要容，具有丰富的涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在的许多容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别与联系，掌握函数、方程与不等式的思想和方法重难点归纳1 二次函数的根本性质(1)二次函数的三种表示法y=ax2+bx+c; y=a(xx1)(xx2); y=a(xx0)2+n(2)当a0,f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)假如p,如此f(p)=m,f(q)=M; 假如px0,如此f()=m,f(q)=M

2、;假如x0q,如此f(p)=M,f()=m; 假如q,如此f(p)=M,f(q)=m2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布与条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根假如在(p,q)成立(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是 (,),+a0时，f(

3、)f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立典型题例示讲解例1二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值围例2关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)假如方程有两根，其中一根在区间(1，0)，另一根在区间(1，2)，求m的围(2)假如方程两根均在区间(0，1)，求m的围巩固练习1 假如不等式(a2)x2+2(a2)x40对一切xR恒成立，如此a的

4、取值围是( )A(,2B2,2C(2,2D(,2)和为常数如此不论为何值，这两个函数的图像 A只有一个交点 B只有二个交点 C只有三个交点 D只有四个交点时，二次函数的值 AB CmDc= AB1CD1的变化围是 A0S2B0S3C1S2D1S0),假如f(m)0,如此实数p的取值围是_8 二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),假如f(12x2)0,求证(1)pf()0,如此f(0)0,而f(m)0,m(0,1),m10,f(m1)0答案A7 解析 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1p(3, )答案 (3，8 解析 由

5、f(2+x)=f(2x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2x0答案2x09解：(1) 1分由y=0 知3分2分又x1x10由AB2=12CO+1得 9m2+16m=24m+1解之得m=12分(2)由S=5 知y= 22分2分10 证明 (1),由于f(x)是二次函数，故p0,又m0,所以，pf()0(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r当p0时，由(1知f()0假如r0,如此f(0)0,又f()0,所以f(x)=0在(0，)有解;假如r0,如此f(1)=p+q+r=p+(m+1)=()+r=0,又f()0,所以f(x)=0在(,1)有解当p0时同理可证学生练习：例1关于的方程有一根在0与1之间，另一根大于2，数的取值围 例2方程在上有实根，数的取值围例3数的取值围使至少有一个正根例4关于的方程至少有一个小于的实数根，数的取值围答案：1. 2. 3. 4. /