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1、课时规范练24解三角形的应用举例课时规范练第41页一、选择题1.有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20,现高不变,将倾斜角改为10,则斜坡长为() A.1B.2sin10C.2cos10D.cos20答案:C来源:2.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案:B3.在某次测量中,在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50,且到A的距离为2,C点的俯角为70,且到A的距离为3,则B,C间的距离为()A.B.C.D.答案:D来源:数理化网解析:BAC=120,AB=2,AC=3,BC
2、2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=4+9-223cos120=19.BC=.4.在地上画了一个角BDA=60,某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10米后,拐弯往另一边的方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点,我们将该点记为点N,则N与D之间的距离为()A.14米B.15米C.16米D.17米答案:C来源:解析:如图,设DN=x米,则142=102+x2-210xcos60,x2-10x-96=0.(x-16)(x+6)=0.x=16或x=-6(舍去).N与D之间的距离为16米.5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰
3、角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是()A.10米B.10米C.10米D.10米答案:D解析:在BCD中,CD=10,BDC=45,BCD=15+90=105,DBC=30,BC=10.在RtABC中,tan60=,AB=BCtan60=10.6.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45,沿点A向北偏东30前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30,则水柱的高度是()A.50mB.100mC.120mD.150m答案:A解析:设水柱高度是h m,水柱底端为C
4、,则在ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得(h)2=h2+1002-2h100cos60,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.二、填空题7.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为km.答案:30解析:如图所示,依题意有AB=154=60(km),MAB=30,AMB=45,在AMB中,由正弦定理得,解得BM=30(km).8.如图,在坡角为15的体育场看台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在
5、直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30,且座位A,B的距离为10米,则旗杆的高度为米.答案:30解析:由题可知BAN=105,BNA=30,由正弦定理得,解得AN=20(米).在RtAMN中,MN=20sin60=30(米).故旗杆的高度为30米.9.如图,一船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东角,前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当与满足条件时,该船没有触礁危险.答案:mcoscosnsin(-)解析:由题可知,在ABM中,根据正弦定理得,解得BM=,要使
6、该船没有触礁危险需满足BMsin(90-)=n,所以当与的关系满足mcoscosnsin(-)时,该船没有触礁危险.三、解答题10.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,求B,C两点间的距离.解:如图所示,由已知条件可得CAB=30,ABC=105,即AB=40=20(海里).故BCA=45.又由正弦定理可得,因此,BC=10(海里).11.如图所示,某海域内一观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50且与A相距80海里的位置B,经过
7、1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50+且与A相距60海里的位置C.来源: (1)求该船的行驶速度;(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶,求船在行驶过程中离观测站A的最近距离.解:(1)如图,AB=80海里,AC=60海里,BAC=,sin=.由于090,所以cos=.由余弦定理得BC=40(海里),所以船的行驶速度为40海里/时.(2)在ABC中,由正弦定理得,所以sin B=,过A作BC的垂线,交BC的延长线于点D,则AD的长是船离观测站的最近距离.在RtABD中,AD=ABsin B=80=15(海里).故船在行驶过程中离观测站A的最近距离为15海里.12.如图,摄影爱好者在某公园A处
8、,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30,已知摄影爱好者的身高约为米(将眼睛S距地面的距离SA按米处理). (1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.来源:(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN的视角MSN(设为)是否存在最大值?若存在,请求出MSN取最大值时cos的值;若不存在,请说明理由.解:(1)如图,作SCOB于C,依题意CSB=30,ASB=60.又SA=,故在RtSAB中,可求得AB=3(米),即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.在RtSCO中,SC=3米,CSO=30,OC=SCtan30=米,又BC=SA=米,故OB=2米,即立柱的高度OB为2米.(2)存在.cosMOS=-cosNOS,=-.于是得SM2+SN2=26,从而cos=.又MSN为锐角,故当视角MSN取最大值时,cos=.
