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1、计算电磁学中的时域有限差分法的数值特性分析及应用摘要时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是解决电磁问题非常 有效的一种数值方法。本文先介绍了 FDTD 的基本原理，分析了 FDTD 解的稳定性和数值色散分 析，然后用 FDTD 求解电磁散射问题，吸收边界条件的设置起着关键性作用。 通过时间和空间上的递推算法对FDTD中的两种吸收边界条件:Mur吸收边界条 件和完全匹配层（PML）的吸收效果进行了比较和分析。同时，引入参数对PML 的差分方程进行了优化，避免了将电磁场分裂为两个分量进行计算，进而降低了 计算内存开销。实验结果证明PML具有更优越
2、的吸收性能。关键词：计算电磁学；时域有限差分法（FDTD）；吸收边界条件1.绪论1.1 电磁场数值计算方法概述自 1873 年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁理论和应用的发展已经 有一百多年的历史，Maxwell方程组的提出对于科学技术的发展具有重要的推动 作用。解析法、近似法、数值法共同构成求解Maxwell方程组的主要手段。在 现代电磁场工程中，由于问题的复杂性，要求得到封闭形式的解已不可能，就是 半解析的近似方法也只能在个别问题中得到有限的应用，能够较广泛发挥作用 的，只有各种数值方法。随着计算机技术的发展，诞生了一门解决复杂电磁理论 和工程问题的应用科学计算电磁学2,3。最近几十年
3、，各具优势和特色的新颖算法层出不穷相继提出。在经历了理论 和实践两方面检验的基础上，一些有生命力的数值计算方法取得长足进步，应用 范围不断拓展。关于电磁场数值计算方法如图 1 所示：1.2 FDTD 研究背景FDTD 是电磁场数值计算中一种有效的方法。在 1966 年 K.S.Yee 发表的著名论文 “N umerical sol ution of initial boundary value problems involving Maxwells equation in isotropic Media”中，用后来被称为Yee氏网格的空间离散方式，把带有时间变量Maxwell方程转化为差分方程
4、，诞生了后来被称作FDTD的一种新 的电磁场数值解法 4。经过三十多年的发展，FDTD已经成为了一种成熟的数值计算方法，并且成为了当前解决电磁场问题最受欢迎的数值方法之一。在FDTD最初20年的发展 中，主要解决了以下问题：1. 吸收边界的应用和不断改善：Mur5提出了一阶和二阶吸收边界条件；2. 总场和散射场区的划分：Umashanka和Taflovd6（1982年）提出了连接边界条件；3.实现稳态场的计算。80年代后期以来，FDTD逐渐完善，被广泛应用，并不断有了新的发展， 又解决了以下问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线坐标系 中的差分格式和非正交变形网格；适于色散介质的
5、差分格式；超吸收边界条件和 色散吸收边界条件。Berenger【71994年提出了完全匹配层(PML)等等，这些改进 使得FDTD方法逐步完善。FDTD法在电磁场工程中的各个方面己得到了广泛的应用，FDTD开始只是 用在分析电磁散射，后来逐渐应用到了生物电磁剂量学问题的计算和电磁热疗系 统的计算机模拟；天线辐射特性计算的分析等。到目前止，己经应用到了电磁研 究的多个领域。其中有：微波器件和导行波结构8的研究，散射和雷达截面计算， 周期结构分析，电子封装，电磁兼容分析等等。且其应用的范围还在迅速地扩大 和提高。2. FDTD 算法的基本原理2.1 FDTD 基本方程FDTD数值方法通过对电磁场电
6、场（E）,磁场（H）分量在空间和时间上采 取交替抽样的离散方式，每一个E （或H）场分量周围有四个H （或E）场分量 环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦方程转化为一组差分方程，并 在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。2.1.1 Maxwell 方程Maxwell 旋度方程2-1)2-2)d DV x H= + Jd tVxE=-电场强度，单位为伏特 / 米（ V/m ）；H 一电场强度，单位为安培/米（A/m）；D 是电位移矢量，单位为库仑/米2 （C /m2）；B 感应强度，单位为特斯拉（T）； J 流密度，单位为安培/米 2（A /m2）J 磁流密度，单位为伏特/米 2（V/m2
7、）。m其中各电磁场以及电磁流有如下的关系：D = E B =卩H J = QE J =b E（2-3）mme 介质介电系数，单位为法拉/米（F/m）；卩一磁导系数，单位为亨利/米（H/m）；q 电导率，介质的电损耗，单位为西门子/米（S/m）；q 一导磁率，介质的磁损耗，单位为欧姆/米（Q/m）；m 从本质上讲，这两个旋度方程是最基本的，研究电磁场问题可以将两个旋度 方程作为出发点。在直角坐标系中，将式（2-1）和式（2-2）中的电磁场矢量分别写成 x， y， z 分量式，有d Hd Hd E =x + a Ez y勿d zd txd Hd Hd E= y + a E2-4)d zQxQtyd
8、 HQ HQ E+ a Eyx =- zd xQyQtzd EQ EQ Hzy =Hx + a HQyQzQtmxd EQ EQHxz =H尸+ a HQzQxQtmyQ EQ EQ H,j-rTfyx =Hz+ a HQxQyQtmz2-5)这六个偏微分方程式 FDTD 法的基础。2.1.2 Yee 元胞1EEE1) Hr j 1 IG, AA7： . w ey(j)图 2 直角坐标系中的 Yee 元胞FDTD 法通过微分差分建立式（2-4）、（2-5）的差分方程。建立差分方程的 首要条件是建立合理的将连续变量离散化的网格空间剖分体系。Yee元胞是一个 经典的网格体系。直角坐标系的Yee元胞
9、网格如图2所示，其特点是：E和H各 分量在空间的取值点被交叉地放置，使得在每个坐标平面L每个E分量由四个H 分量所环绕，同时每个 H 分量也由四个 E 分量所环绕，这样的电磁场空间分配符合电磁场的基本规律，即 Maxwell 方程的基本要求。2.1.3 FDTD基本差分方程9,ioYee采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来（i ,j, k ） = （i, A x, / A y, k A z）（2-6）而该点的任意函数F （x, y,z11）在时刻nAt的值可以表示为：F n（i, j,k） = F （iAx, jAy,kAz,nAt）（
10、2-7）式中Ax，Ay，Az分别为沿x，y，z方向上离散的空间步长，At是时间 步长。Yee采用中心差分来代替对时间和空间的微分，具有二阶精度2-8)竺皿血=&（ *空 jk上&（二竺 jk）+o（ax）2） d xA xd Fn ( i, j, k ) Fn +1/2( i , j, k ) - Fn -12 ( i, j, k )+ O (At)2)2-9)按照式（2-8）和式（2-9）,由Maxwell方程得到的式（2-4）可化为差分方 程。以式（2-4）和式（2-5）为例，所得差分方程如式（2-10）和式（2-11），其 它场量差分格式与此类似。b (i + 1/2, j, k) A
11、t”2 & (i 土 1/2, j, k)” E n+1 (i + 1/2, j, k) =x E n (i + 1/2, j, k) +xxb (i + 1/2, j, k) Atx( i + 1/2, j, k) , b (i + 1/2, j, k) A t1 + 1 +2(i+1/2, j,k)2(i+1/2, j,k)H n +1/2z(i + 1/2), j + 1/2, k H n+1/2(i + 1/2, j 1/2, k)zA yH n+1/2(i + 1/2, j, k + 1/2) H n+1/2(i + 1/2, j, k 1/2)yy2-10).p (i, j + 1
12、/2, k + 1/2) At 1 Hn+1/2(i, j+1/2,k +1/2) xHn1/2(i, j+1/2,k+1/2)x2 土 (i ,j 土 1/2, k 土 1/2)p (i, j + 1/2, k + 1/2) At 1 +2 卩(i, j + 1/2, k + 1/2)A t1+ .A (i, j + 1/2, k + 1/2) 1 + P (i, j + 1/2, k + 1/2) A t2 A (i, j + 1/2, k + 1/2)En(i,j+1/2,k+1)En(i,j+1/2,k) En(i, j+1,k+1/2)En(i, j,k+1/2)yy zy（2-11
13、） 在 Yee 的差分格式里，每个网格上各场分量的新值依赖于该点在前一时间步 长时刻的值及该点周围邻近点上另一场量的场分量早半个时一间步长时刻的值。 因此，在任一给定时刻，场分量的计算可一次算出一个点，或者采用p个并行处 理器一次算p个点（并行算法）。通过这些基本算法，逐个时间步长对模拟区域各 网格点的电磁场交替进行计算，在执行适当的时间步数后，即可获得需要的时域 数值结果，称这种差分格式为蛙跳格式。2.2 解的稳定性和数值色散分析2.2.1 解的稳定性由于 FDTD 差分方程只是 Maxwell 旋度方程的一种近似，在计算中存在误 差。同时，由于 FDTD 法是一个迭代过程，因此它的数值稳定
14、性至关重要。平面波方程为：2-12)& 2+ f = 0c2相应解析式可以写为：f (x, y, z, t) = f exp0j (k x + k y + k z) 一切 txyz2-13)FDTD 的二阶差分近似为：Q2 f _ f (x + A x) 一 2 f (x) + f (x 一 A x) d x2(A x )2将式(2-13)和式(2-14)带入式(2-12)，得：sin 2 (k Ax / 2)x(Ax /2)2sin 2(k Ay / 2) sin 2(k Az / 2)& 2+y+z-_ 0(Ay /2)2(Az /2)2c2（2-15）任意波都要满足的条件可推导出：A t 1f（2-16）c (1 / (Ax)2 + 1 / (Ay )2 + 1 / (Az)2式（2-14）给出了时间步长和空间步长之间应满足的关系，又称为 CourantFriedrich Lvy（CFL）稳定性条件。2.2.2 数值色散分析用差分方法对Maxwell方程进行数值计算时，将会在计算网格中引起所模拟波模的色散，即在时域有限差分网格中，数值波模的传播速度将随频率改变，这 种改变由非物理因素引起，随数值波模在网
