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1、关于矩阵正定的若干判别方法数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2010级 赵明尖指导教师 吴春 摘 要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。 关键词:正定矩阵；定义；性质；判定 Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying
2、 positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and
3、property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix. Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination 1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组
4、成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。而且正定矩阵部分的应用非常广泛，阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些相应的结论。通过对矩阵正定
5、判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。2 定义与性质2.1定义定义 2.1 实二次型称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数都有。 定义 2.2 设，且是阶实对称矩阵即，若，都有，则叫做正定矩阵。定义2.3 在实二次型的规范形中，正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数，它们的差称为的符号差。2.2性质性质2.1 如果矩阵是正定矩阵，则必有：（1）；（2）的元素的绝对值最大者必是主对角元；（3）,其中
6、是的阶顺序主子式；（4）,当且仅当为对角阵时等号成立。注2.1 我们可以利用上述正定矩阵的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于阶矩阵有：,则必不是正定正矩阵。例2.1 判断二次型是否正定。 解 二次型对应的矩阵为 .显然的元素绝对值最大者为,为非对角元，则为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。3 正定矩阵的判定方法3.1 定义判定定义3.1 对于实对称矩阵=（其中 ）,若对于任意非零列向量，都有,则称是正定矩阵。例3.1 设为正定矩阵，为阶实反对称矩阵，证明是正定矩
7、阵。分析 这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。证明 因为是正定矩阵,所以 ,且对任意维列向量有, 又是实反对称矩阵，即,从而.即是实对称矩阵，又对任意实维列向量,有：,故是正定矩阵。例 3.2 设是阶正定矩阵，是实矩阵，的秩为，证明 ：是正定矩阵。 证明 因为，故 是实对称矩阵，其次，由于秩故只有零解，因此，若任取非零实列向量必有，因是正定矩阵，故对任取的非零实列向量，必有 ,因此是正定矩阵。例 3.3 证明:是正定矩阵，则也是正定矩阵。证明 由于正定，所以，且对任意维向量有.又,从而对任意有（注意,且当时）,又因为有,即实对称矩阵，故正定矩阵。注 3.1 以上三个例子，是运用正定矩
8、阵的定义来证明的。还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法。具体是，若不是方阵，也不对称时,是正定矩阵，若 是方阵，但不对称，则是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用。3.2 定理判定定理3.1 阶实对称矩阵正定当且仅当实二次型的正惯性指数为。 证明 设实二次型经过非退化线性变换得 . （3.1）由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么正定当且仅当（3.1）是正定的，由定义2知（3.1）正定当且仅当0()，因此正惯性指数为。定理3.2 实对角矩阵正定的充分必要条件是()证明 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型.的正惯性指数为，因此
9、。定理 3.3 实对称矩阵是存在一实系数矩阵，使得正定，其为的转置。证明 因为,所以是阶实对称矩阵。先证必要性若秩,则存在，令,则，由此可知正定。再证充分性设 正定, . （*）由（*）式知 ,这就是说，任意的 ,都有 ,从而仅有零解，所以秩。定理 3.4 实对称矩阵是正定的充要条件是二次型 的系数矩阵的所有特征值都是正数，即大于零。证明 由题意知，实对称矩阵可对角化为，其中，恰好是的特征值，则二次型的标准形为：+,而非退化实线性变换保持正定性不变，由正定，得。例3.4 设为三阶实对称矩阵，且满足，已知的秩.则当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵。解 设为的一个特征值，对应的特征矩阵
10、向量为，则,则。从而， 。由条件， 推知，又由于，故有 于是 故矩阵的全部特征值为，.矩阵仍为实对称矩阵.则的全部特征值为。于是时，矩阵的全部特征值大于零，故为正定矩阵。定理 3.5 实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同。证明 实正定二次型的规范形为 . (3.2)而（3.2）的系数矩阵为单位矩阵，非退化实线性变换保持正定性不变，而且新二次型的系数矩阵与原二次型的系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同。例 3.5 证明正定矩阵的行列式大于零。证明 设是一正定矩阵，因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使，两边取行列式，就有。定理3.6 实对称矩阵是正定的充要条件是存在可逆矩阵
11、使得=。证明 设为一正定矩阵，当且仅当与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵，使得。定理3.7 实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零。证明 先证必要性 实对称矩阵正定，则二次型是正定的，对于每一个，令，我们来证是一个元正定二次型，对于一组不全为零的数，有，因此是一个元正定二次型.由充要条件2得的矩阵行列式 ，再证充分性对作数学归纳法当时,=,由条件0，显然是正定的，假定此论断对元二次型成立，下证元的情形。令 , =， 则 =.由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零，由假设是正定矩阵，有阶可逆矩阵，使得=，令=，则 =,令 =，则 = =.令 =,=-,则有 =，两边取行列
12、式得=,由条件,知. 由于 =，因此A与单位矩阵合同。由定理5得，是正定矩阵。例3.6 判别二次型是否正定。 解 的矩阵为 ，它的顺序主子式, , .因此有定理3.6知正定。定理 3.8 是正定矩阵的充要条件是是正定矩阵。证明 必要性若是正定的，则存在实可逆矩阵使。所以, 因为可逆，也是实可逆矩阵,所以有也是正定矩阵。充分性若是正定矩阵，则因为,所以是正定的。定理 3.9 是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上(下)三角矩阵，使 。证 不妨以下三角矩阵为例来证明，上三角矩阵的情况同理可证。充分性是显然的。下证必要性若 是阶正定矩阵，则的任意阶主子式大于零.特别的有 .将的第列乘适当的倍数，分别
13、加到第列上，再施同样的行变化，可使变成为的形式。即存在非退化的下三角矩阵T，使,再令，故 .因为正定，故作为的阶顺序主子式，也是正定的。对做同样处理，最终可得到.令 ，所以是非退化的下三角矩阵，且使。定理 3.10 是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组 使 =.证明 必要性是正定矩阵，因为存在正定矩阵, ，令，其中为正交向量组，即,显然是正定矩阵。4 结束语判定矩阵正定性有许多种法，我们需要在理论和实际中善于发现并充分利用，具体问题具体分析以求用最好的方法解决问题。而本文只是简单的介绍了矩阵正定的几种判定方法。还有很多矩阵的判定方法以及矩阵的应用本文并没有谈到。例如矩阵在物理学，概率论以及优化
14、控制论中等的作用及其他的正定矩阵判定方法我们将在以后的文章中谈到。参 考 文 献：1 高等代数第三版.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，高等教育出版社M，2003.2 钱吉林.题解精粹第二版.中央民族出版社M，2010.3 岳贵鑫.正定矩阵及其应用J辽宁省交通高等专科学校学报，2008（10），3-5.4 燕列雅，于育民.用初等变换进行矩阵的QR分解J数学通报，1998（9），2-3.5 杨子胥.高等代数习题集.山东科学技术出版社M，2004.6 曹璞.正定矩阵的判定与性质J.南都学坛,1994(3)：1-3. 7 徐仲.陆全高等代数考研教案.西北工业大学出版社M,2006.8 徐仲.高等代数（
