数字低通滤波器的设计

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1、*实践教学 * 兰州理工大学 计算机与通信学院 2013年春季学期信号处理课程设计题 目： 数字低通滤波器的设计 专业班级： 通信工程班 姓 名： 学 号： 指导教师： 蔺 莹 成 绩： 摘 要设计一个数字低通滤波器。而数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率的相对比例或滤除某些频率成分的器件；一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数字处理来达到频域滤波的目的。根据滤波器的设计思想，通过双线性变换法和脉冲响应不变法将巴特沃斯模拟低通滤波器变换到数字低通滤波器，利用MATLAB绘制出数字低通滤波器的系统幅频函数曲线，对这两种方法进行比较。关键词：

2、数字滤波器；双线性变换法；脉冲响应不变法；巴特沃斯；MATLAB目录前言1一、课题描述2二、设计原理32.1 IIR数字滤波器设计原理32.2巴特沃斯低通滤波器的原理32.3双线性变换法42.4 脉冲响应不变法工作原理6三、设计过程7四、结果与分析8总 结11参考文献12附录13致谢17前言课程设计是理论教学的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，对于贯彻理论联系实际、提高教育质量，培养合格人才等具有特殊作用本次课程设计一方面通过MATLAB仿真设计内容，使学生加深对理论知识理解的同时增强其逻辑的能力，另一方面对课堂教学中的理论知识做一个总结和补充。简单来说，理想低通滤波器的滤波效果是无失真，其

3、通频特性可以看做一个矩形，滤波不会发生混叠（实际的滤波器是不可能有理想的截至特性，总会在截止频率fc之后总有一定的过虑带）。 巴特沃斯滤波器是滤波器的一种设计分类，类同于切比雪夫滤波器，它有高通，低通，带通，带阻等多种滤波器。它在通频带内外都有平稳的幅频特性，但有较长的过渡带，在过渡带上很容易造成失真，我在调用MATLAB里的巴特沃斯滤波器做仿真时，信号总会在第一个周期略微有些失真，但往后的幅频特性就非常的好。切比雪夫滤波器则相反，过渡带很窄，但内部的幅频特性却很不稳定。其他种类的滤波器一般都是那折中设计的。双线性变换法原理：使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶

4、跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真双线性变换法也是一种由S平面到z平面的映射过程，双线性变换法与脉冲响应不变法不同，它是一种从S平面到z平面简单映射。双线性变换中数字域与频率和模拟频率之间的非线性关系限制了它的应用范围，只有当非线性失真是允许的或能被裣时，才能采用双线性变换法，通常低通、高通、带通和带阻等滤波器等具有分段恒定的频率特性，可以采用预畸变的方法来补偿频率。 冲激响应不变法遵循的准则是使数字滤波器的单位取样响应与参照的模拟滤波器的脉冲响应的取样值完全一样，即h(n)=ha(nT),其中T为取样周期。实际是由模拟滤波器转换成为数字滤波器，就是要建立模拟系统函数Ha（

5、S）与数字系统函数H（z）之间的关系。脉冲响应不变法是从S平面映射到z平面，这种映射不是简单的代数映射，而是S平面的每一条宽为的横带重复地映射到整个z平面。一、课题描述数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。如果系统是一个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数

6、字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性: (1-1)其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。二、设计原理2.1 IIR数字滤波器设计原理IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟

7、滤波器的设计方法来进行设计，通常采用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函数、bessel函数、椭圆滤波器函数等。IIR数字滤波器的设计步骤： 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标； 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器； 跟据脉冲响应不变法和双线性变法把模拟滤波器转换为数字滤波器； 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。在MATLAB中，经典法设计数字滤波器主要采用以下步骤：模拟滤波器原型buttap,c

8、heb1ap频率变换模拟离散化bilinear,impinvarIIR数字滤波器图1 IIR数字滤波器设计步骤2.2巴特沃斯低通滤波器的原理巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不

9、同的形状。 (2-1)上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上。因此，极点用下式表示为 (2-2) 的表示式： (2-3)为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB截止频率归一化，归一化后的系统函数为 (2-4)令,称为归一化频率，称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 (2-5)式中，为归一化极点，用下式表示: (2-6)2.3双线性变换法双线性变换法是将平面压缩变换到某一中介平面的一条横带里，再通过标准变换关系将此带变换到整个z平面上去，这样就使平面与平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。为了将平面的轴压缩到平面的轴上的到一段上，可

10、以通过以下的正切变换来实现： (2-7)这样当由经变化到时，由经过0变化到，也映射到了整个 轴。将这个关系延拓到整个平面和平面，则可以得到 (2-8)再将平面通过标准变换关系映射到平面，即令得到 (2-9)同样对z求解，得到 (2-10)这样的变换叫做双线性变换。为了验证这种映射具有s平面的虚轴映射到z平面单位圆上的特性，考虑 ,，得 (2-11) (2-12)除了使s平面的虚轴映射到单位圆上之外，s平面的左半部分映射到单位圆的内部，s平面的右半部分映射到单位圆的外部。如图所示图2 双线性变化映射关系示意图观察式子，发现的实部为负时，因子的幅度小于1，相当于单位圆的内部。反之，当的实部为负时，

11、该比值的幅度大于1，相当于单位圆的外部。这样就可以看出使用双线性变换可从稳定的模拟滤波器得到稳定的数字滤波器。双线性变换法还避免了使用脉冲响应不变法所遇到的混叠问题，因为它把平面的这个虚轴映射到平面的单位圆上。然而，付出的代价是在频率轴上引入了失真。因此，只有当能容忍或补偿这种失真时，使用双线性变换法设计数字滤波器的方法才是实用的。仅在零频率附近时与之间的频率变换关系接近于线性关系，所产生的数字滤波器的幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应有畸变。对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以

12、校正，也就是将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率上。通过的关系变换成一组模拟频率。图3 双线性变化法的频率关系为了克服冲击响应不变法产生的频率混叠现象，我们需要使平面与平面建立一一对应的单值关系，即求出，然后将其代入就可以求得，即 (2-13)2.4 脉冲响应不变法工作原理冲激响应不变法遵循的准则是使数字滤波器的单位取样响应与参照的模拟滤波器的脉冲响应的取样值完全一样，即h(n)=ha(nT),其中T为取样周期。实际是由模拟滤波器转换成为数字滤波器，就是要建立模拟系统函数Ha（S）与数字系统函数H（z）之间的关系。脉冲响应不变法是从S平面映射到z平面，这种映射不是简单的代

13、数映射，而是S平面的每一条宽为 的横带重复地映射到整个Z平面。三、设计过程低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：1根据数字低通滤波器技术指标和采样时间间隔Ts=0.01s。2.计算出模拟低通的技术指标 Ts=0.01s。3.设计巴特沃斯低通数字滤波器，先计算阶数N及由公式计算出N=3.7688，进行取整得N=4；由公式计算出。4.利用MATLAB函数根据低通滤波器的技术指标利用双线性变换法及脉冲响应不变法仿真出巴特沃斯低通滤波器的对数幅频及相频率曲线。 四、结果与分析4.1结果 图4双相性变换法 图5脉冲响应不变法4.2比较分析比较脉冲响应不变法设计的低通滤波器和双线性法设计的低通滤波器：脉冲响应不变法优点：是频率坐标变换是线性的，即，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域逼近性好。缺点：会产生频率混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。 双线性变换法避免了频率响应的混叠现象。可以设计高通、带阻滤波器。模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了。