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1、目录1引言12康托集和集合论12.1集合论与测度的几个定义定理12.1.1集类的相关定义 12.1.2单调函数与测度的构造的相关定义定理42.1.3可测函数与分布的相关定 52.2集合论的建立7221康托集的建立72.2.2康托尔集的性质 102.3零测集和离散型随机变量的联系 113结论124结束语12参考文献13致谢14集合论与测度数学系本0903班 黄丽芳指导教师：陈金梅摘 要：本文首先介绍了集合论中的一种特殊的集合康托尔集，接着以 零测集和可测函数为内容将概率空间和测度空间做了相应的联系,将概率论的相 关知识与实变函数的相关知识做了很好的衔接。测度论是概率理论的必要基础， 对比学习测度
2、和分布变量为以后概率和统计专业知识的学习做了很好的旧知识 的复习和新知识基础的巩固。文章给出的相关定义和定理为论文的知识提供了很 好的理论依据。通过该论文的写作，不仅将此阶段前的集合基础知识做了复习， 还对以后进一步的学习做了必要的准备。关键词：集合论，测度论，学习，分布变量，可测函数。Set theory and measurementHuang LifangThe Mathematics Department of 0903 classTutor : Chen JinmeiAbstract:At first,this paper introduces a special set - Can
3、tor set theory of set. After that ,I choose the zero measure set and measurable function form the content of probability space and measure space.It is easy to connect the knowledge of probability theory with the real variable function . Measure theory is based on probability theory, and in turn revi
4、ewing the measure and the variables. It is necessary for this paper to provide a good theoretical basis related definitions and theorems . Through this paper , I review the set of knowledge prior to this stage.This paper will be able to play the very big imputes role to my further study.Keywords: se
5、t theory, measure theory, learning, distributed variables, measurable function.1引言在数学分析积分(特别是重积分)理论中，面积(或体积)是基础概念。它 具有可加性：即设几何体A，B不相交且分别有体积V(A)，V(B)，则几何体AU B(将几何体看成它的点的集合)的体积V (A U B)二 V (A) + V (B)我们还知道概率也具有可加性。事实上，还有很多客观事物具有可加性，例 如，任何一种材料的重量(质量)；导体所负载的电荷；物体所受的压力等等。 将这些可加性加以概括就成为测度的概念。所谓测度就是在一个给定集合
6、Q的某 一子集类C上定义的一个满足完全可加性的非负函数叽A)，A e C，即若A : n e N是C中两两不交的元，且U A e C，A e C贝UnnneN、卩(UA ) =(A )nnneNneN(更广阔一些的情况是的值可以是向量)。2康托集和集合论21集合论与测度的几个定义定理2.1.1集类的相关定义定义1设b,iur，将b,i三等分，并移去中央的三分开区间I = -11,113 3 丿记其留存部分为F，即件=0,|U21 = JU F1,2；再将F中的区间b,1. 3及12/3,1各三等分，移去中央三分开区间2,199及 12,2 二99；再记F中留存部分为F，即F二0,12,1 U
7、2,7U 8,1 = F UF UF 一般地说，2299 33 992,12,22,4设所得剩余部分为F，则将F中每个(互不相交)区间三等分，并移去中央三分nn开区间，再记其留存部分为F，如此等等，从而我们得到集合列，其中n+1nn=1F 二 F U F U . U F (n 二 1,2,.)。作点集 C 二 ff F ,，我们称 C 为 Cantor (三 nn ,1n ,2n ,?nn分)集。定义2为了对随机事件进行定量分析，必须把随机事件数量化。这就需要 引进随机变量。这就为研究随机事件提供了很大的方便。随机变量E是样本点 的一个实值函数，这就为用随机变量的某些取值来表示随机事件的依据。
8、为了掌 握g的统计规律，需要掌握g取各种值的概率。例如：P ( a)， P(a g b) = P(g b) - P(g a)，P(g c) = 0 P(g c)所以对任意的实数 x， 必须知道P(g x)的值，这种概率具有累积性，x不同，P(g x)的值也不同。 为此记为F(x)二P(g x)。定义3而定义在样本空间0上，取之于实数域R，且只取有限个或可数 个值的变量g=g()，称作是一维(实值)离散型随机变量，简称为离散型随机 变量。称P(g二a )二p，i二1,2,.为随机变量g()的概率分布列，也称为分布律，1 1有时也简称为分布。离散随机变量g ()的分布列常常习惯地把它们写成表格的形
9、式或矩阵形、 1 2式： p p .1 2定义4设0是一给定的非空集合。它的一些子集组成的类S称为0的一个 半代数，如果它满足：(i) 0G S,0G S;(ii) 若 A, B g S,则 A A B g S ;(iii) 若 A, A g S, A g A,贝U 3A，,A u S, A，A 两两不交，且使 A 二 J A112n1nkk =1显然，由(ii)知半集代数对有限交封闭。定义50的子集类S是半集代数的充要条件是(i)，(ii)及(iii)若Ag S，则3A ,.A u S它们两两不相交，且使1n,nAc ：= 0 A = U Akk=1定义6 Q的子集类称A为它的集代数（亦称布
10、尔代数），如果它满足：（i）QwA;（ii）若 A, B wA,则 A U B, A D B wA ;（iii）若 A w A,则 Ac := Q A w A .定义7 Q的子集类A是Q的集代数的充要条件是下列诸组条件之一成立：（I）定义 6 中的（i）, （ii）及（ii）： A, B wA,则 A U B wA;（II）定义 6 中的（i）, （ii）及（ii） : A, B wA,则 A D B wA ;（III）0$人及（iii） : A, B wA,则 A B wA .定义8设S是Q的半集代数，则A :=Ua :A，A w S且两两不相交，n w N Ua :A，A w S, n w
11、 N I k=1k 1 nJ J k 1 n J为包含S的最小集代数（即任一包含S的Q的集代数必包含A）称此代数为由S生成的集代数。有时记作A（S）.定义9称Q的子集类F为Q的代数（b域），如果它满足：（i）Qw F ;（ii）若 A w F,则 Ac w F;（iii ）若 A w F,n w N,则U A w F.nnn =1定义10 Q的子集类口称为“系，如果它对交封闭。的子集类A称为九系（或Dynkin类），如果它满足：（i ） Q w A;（ii）对真差封闭：即 A, B wA, A u B,则 B A w A;（iii ）对不降序列的并封闭：，即（A : n w N uA, A T
12、,则U A w A.nnnn=1显然半集代数是“系。2.1.2单调函数与测度的构造的相关定义定理定义11设C是Q的一个子集类，R : C T R :=b, + 且至少有一个A e C，+使叽A)g .若 VA, B e C，A U B e C，A D B = 0 都有卩(A U B)=卩(A) + 卩(B)则称卩为C上的可加测度；(2) 若 Vn e N, A e C,k = l,2,.n两两不交且Ua e C 都有kkk=1UA =工卩(A )，(k丿k、k =17 k =1则称卩为C上的有限可加测度； 显然若C为集代数，则C上可加测度一定是有限可加测度。(3) 若VA e C,n = 1,
13、2.两两不相交且U A e C都有nnn=1UA =(A )j=1 丿 n=1n则称卩为C上的测度(或c可加测度)。若VA e C， r (A) e R则称上述相应各种测度为有限的；若+VA e C, m(An : n e N u C，使U A = A且r (A ) g, n e N，则称上述各相应测度nnn =1为C有限的。若F为0的一个c代数，则称(, F)为可测空间，A e F称为(0中关于F 的)可测集；若R为F上的测度，则称(0, F, R)为测度空间；若R为F上的测度 且r (0) = 1，则称R为F上的概率(或概率测度)，称(0, F, r)为概率空间(或 概率场)。定义12设卩
14、*为Q的外测度，A uQ称为卩*可测集，如果VD uQ，有卩*(D)二卩*(An D) + 卩*(Ac PlD)。2.1.3可测函数与分布的相关定定义13设(Q, F,卩)是一测度空间，若函数f : A(g F) R使VB e B，有f -1( B )：= o g A: f ) g bg A P F其中AP F :=aP F : F u F,则称f为定义在A上的可测函数；当r为概率测度 时，可测函数称为A上的广义随机变量。若f取值于R时，则称f为A上的有限 实值可测函数(相应地，有限实值概率变量，简称为随机变量，记作r.v.)。定义14给定(Q, F).(1) 若 A g F,k = l,2,.n 两两不交且 U A = Q,a ,k = l,2,.n 为实数或 s (或复kkkk =1数)，称函数f ：=工 a I ,即f (o):=工 a I (o), oeQkAkAk =1k =1为F简单函数。(2) 若A e F,n e N两两不交且U A =Q,a ,n e N为广义实数(或复数)，则称nnnneN函数f := X a In Ann=1为F初等函数。214测度与概率的相关定理及推论定理1设C是Q的一个子集类，则存在一个唯一的Q的q代数b (C)，它包 含C而且被包含C的任一b代数所包含。q (C)称为由C生成的b代数或包含C 的
