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1、对数及对数运算【学习目标】1. 理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2. 了解常用对数与自然对数的意义；3. 能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4. 了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.5. 能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果ab = N(a 0,且a丰1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a0且a1， N0，beR.2.对数log N (a 0,且a丰1)具有
2、下列性质(1) 0和负数没有对数，即N 0 ；(2) 1的对数为0，即log= 0 ；(3) 底的对数等于1，即10g. a = 1.3 .两种特殊的对数a通常将以10为底的对数叫做常用对数，1og10N简记作1gN .以 e (e是一个无理数，e = 2.7182) 为底的对数叫做自然对数，log N简记作1n N.4 .对数式与指数式的关系e由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可 由下图表示.指数式AI数式I指数对数予真数abNlogaNb底数由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则已知 log
3、M，1og N (a 0且a 丰 1，M、N 0) 正因数的积蔺对数等于同一底数各个因数的对数的和；log (MN) = log M + log N推广：log (NNN )=1og N + log N + + log N (N、N、N 0)a 12 ka 1a 2a k 12k(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log M = log M - log Na Na . =a.(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log M a =a log M要点诠释：(1)利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能 成立.如：log
4、2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的.(2)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、 的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(M-N)=logaM-logaN，M _ log M loga N log。N 要点三、对数公式1 .对数恒等式：ab = Nlog N = b J 2.换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， (1) log M = log Mn (n e R)令 logaM=b积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误n
5、a log aN = Na手1, M0的前提下有:(2) log M =an则有 ab=M，(ab)n=Mn，即(an)b = Mn，log Mlog a即b = log Mn，即:log M = log Mn .(c 0, c。1)，令 logaM=b，则有 ab=M，则有 log a = log M (c 0, c。1)即 b - log a = log M， 即 b = *g c”，即 log m = *g c”(c 0, c。1) c clog aa log a当然，细心一些的同学会发现(1)可由B)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以 得到一个重要的结论：l
6、og b = - (a 0, a。1, b 0, b。1).a log a【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：(1) log216 = 4 ； (2) logj27 = 3 ； (3)log电工=3 ； (4) 53 = 125 ； (5) 2-1 = 2 ； (6)-3举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1) log16x = -2(2) log 8 = 6(3)lg1000=x (4) -2ln e2 = x【变式2】计算：log24;log28;log232并比较.类型二、利用对数恒等式化简求值例 2 .求值：71+log75举一反三：【变
7、式1】求arogaWogbEogcN的值（a, b, cER+，且不等于1, N0）类型三、积、商、幕的对数： XX 2 / J；(4)logJZ a 3 z(2)lg2-lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2-lg50+(lg2)2例3,用log /,log ,log az表示下列各式log 三；(2)log (X3J5)；(3)log a za举一反三:【变式1】求值2log 25 + 3log 64 - 8log 15210X + J【变式2】(1)已知2x = 5j = 10，则=(2)已知log23 = a,3b = 7，求log/6 .类型四、换底公式的运用例4.已知典/ 二
8、。，母二5 ,求log36 45 .举一反三：【变式 1】求值：(1)(log 3 + log 3)(log 2 + log 2) ； (2)log 9 -log 32 ； (3)9扣。.4839827类型五、对数运算法则的应用,25、 八 11例 5.(1)计算：(一)0.5 + 9 2 -log 32 +122 一兀 0 + log 3-log 492297 、。(2) lg14-2lg + lg7-lg183(3) log2(log232 + log1 - + log4 36)2(4) 若log2 x = log4(x + 2)，求 x 的值.举一反三：【变式1】求值：7lg2 (1)l
9、g170例6.设函数f (x) = lg(ax)g三 X 2(1) 当厅0.1,求(1000)的值.(2) 若 f(10) =10，求 a 的值；举一反三：【变式1】若a, b是方程2(lg x)2 - lg x4 +1 = 0的两个实根，求lg(ab) - (log+ log/)的值.【巩固练习】1. 有以下四个结论：lg (lg10) =0；ln (lne) =0；若 10=lgx，则 x=10；若 e=lnx，则 x=e2,其中正确的是()A.B.2. 下列等式成立的有() 1 g100C.D3=2 ； log 3萼3 =: 2log25 = 5 : elne = 1； 3lg3 = 3
10、 ；32A. B.C.D.3.已知3a = 2，那么log3 8 2log 3 6用a表示是()A. a 2B. 5a 2C. 3a-(1+ a)2d.3a a24.已知2x = 72j = A，且上+ = 2，则a的值是()x yA. 7 B. 7V2C. 7竟D. 985 .若 y = log 6 - log 7 - log 8 - log 9 - log 10，则()56789A. y e (0,1) B. y e (1,2)C. y 6(2,3)D.y e (3,4)6. 设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有()11 12 2 11 2 22 1 2A. = + B. = +
11、C. = +D. = + cabcabcabcab7.若lg a ,lg b是方程2x2 - 4x +1 = 0的两个实根，则ab的值等于（ ）A. 2 B. - C. 100 D.而11.已知 a=0. 33, b=3o. 3,2 4时，f （x）= 2 /；当 x 4 时，f (x) = f (x +1)，则 f (2 + log2 3)=()A12411B.C.128D389.1已知a 2 =4nrl 1# 则 log a =.10(1) log92381 - log 16 + log 20 - log30 =_;2 2223 333(2) 7log7 6-log6 5log5 4 =c
12、=log30. 3, d=log0 33，则 a, b, c, d 的大小关系是12.已知 f（3x） = 4罚熙23 + 233，则 /（2）+ /（4）+ /（8）+ + /（28）的值等于13计算：(1) log2(47 X25) + lgV100 + log2 3 log3 4.(2)若a + b = lg3 2 + lg3 5 + 3lg 2 lg5，求3ab + a3 + b3.14.已知实数x满足310 3X-1 + 9 0且f=堕 .%弓.（1）求实数x的取值范围；（2）求/（x）的最大值和最小值，并求此时x的值.15. 2010年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%,那么经过多少年后国民生产总值是2010 年的 2倍（lg2 总 0.3010,lg1.08 总 0.0334，精确到 1 年）？
