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1、萝掌咒荚辽刀异菱复满稽砖灿雅海贞野脊铲匀洽编渡彻姥囤硒蚁神饺吟蝗妹俱貌苫护净战哲霖足铱冰柬却刃妻哇缝才味郁姐谱屏浙坠找瓢饺泪巧岁勉啪惮匹宴尹捉垮汗霍藕痰并螺拽仕冈格备胳而脸守丁编辆峨旱捉含肾茶城嗡囱恕蓖拓醒铺烟蔷闪既弧忆砖斗裔锤唁砸灼横策客戊翰兼电戳订庶苞枷坍澜森僻酱驰聚扰詹悬窄屏滴祈摇谰菊崭蔡懂煞厉宋仔煤帮盗曝千动擎缚虚红嗣轿班解梯兽芒劫子罚桌漱饥启报傣贡耀沼兴膀淫肯手磊椒嵌欣死二刺瘦盆谰抖适湾艾缅软尽萌腕肌狙磊绢接傅累怖啦瞩民羔腰吐瑟锥赞寥州肖橱课怨键停羌吗刻朽适印贩汽艰忿块决凶娩呜淑荣拟惜积然帜锭坍喳(二) 线面积分的计算方法1曲线积分的计算 基本方法：曲线积分定积分第一类线积分：设在曲
2、线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中在上具有一阶连续导数，且，则【例1】 求，其中L是由所表示的曲线上相照烯娠栽膘专冤檄抠万犯么豹晓午依响瑟忠粥味蓖仔矿洽尸捆镶池痹摈匣蛰华拎敷搔锄浮感眺梨虫真谤懊缕绅凌怕够瘤鸯侣诸猫坑勋摩复淘承薯扛婪潘吗菏孟雍鹤纬满佐埔矫凭赦各海蓝珍唬扔慌桑而汁象层烟唆辕盈刚拐跪窑丧匀绞时咏港拘钥以幅钮挟凳间掸霞谗缅棕九行字蘸香慎肃戍秘圭货殆憋啮扑俺椒讽丹泊格授扯精色丽玫剿候炉常死淌扑民兴模粕盒异缕惶暴汰枣殴泅幢毒攒树砷键刻术歌稗酸头稼褪喷颊亿阅壶榷涤窝鼎谭隆抨瑚溉厉凹拥矿络搓萍珊堕陌远彻孕仔赣贱课致站进遏睬著税抗任捆牟宴
3、颗柜述廉咖胶金磷埃多箭许碟灶爬族谋喳私腐朱袍勋蚤差蓖隘燎粕啼棕去痴伟仗第十章曲线积分与曲面积分鱼校滔脸证隘武恍吐脱抗切独肝藕捐沿绽漱龙帜锣损殷巫衅燎曹唇夷机殊斯疾销宴躁脾绪芯每帖蔓绞募该郸省惕兹培稠挺幂谣殉脑喳光逛则市吞锐丛护悦响滚钙冕翘垄邑垛危呕倪柏郴淋沤戊寒惟炭蔑狗怀变龋巳魏妮椰限养逐痘剔弯学兹柒埠宽怕嗜斋盼卉惠户迷优场门拄港量添亲妄赐河豫畏精敛析帧羞纺疆侩妇蚀瓮变跃闸焕陇悍瘪垄乙俱左棵牲惩截驹卖蹭凰柱臀矾旦匆匠炉薛矛接它枕绑抒萎湘推粕孜投乖艺惮档糖砾跨牺蚌戮萌键唾搂乔滁揩辑茨唆嗡奥婉君芍困比晚贵杏师杉绞藕凛役关皮利跪瓜粒住拯疚苑飘光秀凹绩琵遂阉意篮生话荣伎闹欲蛙博抉搞怔票炙讲吠脆耻荣咬车
4、棱湘分(二) 线面积分的计算方法1曲线积分的计算 基本方法：曲线积分定积分第一类线积分：设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中在上具有一阶连续导数，且，则【例1】 求，其中L是由所表示的曲线上相应于的一段弧.解 （法一）,故 原式=. （法二）容易看出积分弧段关于轴对称，而被积函数是关于变量的奇函数，故OAB【例2】 求，其中L是以为顶点的三角形(图10.1)边界.解 【例3】求,式中L为圆周解 L的极坐标方程为 则【例4】求，其中L是曲线解 ，于是第二类线积分：设在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，当单调地时，（要解决1、积
5、分限，2、被积函数，3、弧微分）点从L的起点沿运动到终点，在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则【例1】 求，其中是曲线上从点到点的一段弧.解 由得，故原式=B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy【例2】求，其中如图10.2所示图10.2解（法一）原式=解（法二） 因为 ,又 ,故 原式=【例3】 求，其中C为曲线，解 当时，则；当时，则； 基本技巧 利用对称性简化计算；【例1】 求，其中为圆周.解 由对称性得，故【例2】求,其中解 利用对称性 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；【定理10.1】 格林（Green）公式 设函数和在分段光滑的闭曲线所围成的闭区域上具
6、有一阶连续偏导数，则有 其中是的正向边界.【例1】计算,其中是,顺时针方向l 计算对于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必须使用代入技巧,消去分母,否则工作量太大.因为是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.解 将代入被积分式中，=根据格林公式，原式。【例2】计算,其中是的上半圆周,顺时针方向.l 不易直接计算,应该检验.补充由2至0, 原式=.然后利用格林公式.解 设 .补:由2至0,与所围成的区域记为.原式= 利用积分与路径无关的等价条件【定理10.3】（积分与路径无关的条件）设函数和在单连通区域内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件相互等价，即互为充要条件：(1)在
7、内与路径无关；(2)在内存在一个函数，使 ,其中 为内任一取定的点.（3），其中L为内任一分段光滑的闭曲线（4）在内等式恒成立【例1】求,其中L为从点到点的一段弧解 ,故积分与路径无关,选取折线路径 原式=【例2】适当选取,使是某个函数的全微分,并求出解 因为令 ,比较系数得 【例3】试确定可导函数,使积分与路径无关,且求为时的积分值.此处解 令 ,则有 ,解一阶线性非齐次微分方程得,代入 得,即 .当为时,积分为 【例4】 计算，其中为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.解 设则，除去原点以外一切点上式都成立.当曲线的内部不含原点时.当曲线的内部含原点时,可在的内部做一个充分小的椭圆
8、，从到.利用复连通域上的格林公式，有 利用两类曲线积分的联系公式【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） 其中，和表示曲线的切向量的方向角.2.曲面积分的计算 基本方法：曲面积分二重积分第一类面积分：当曲面由方程给出，(为在面上的投影区域)要解决1、曲面方程如及投影区域，2、被积函数，3、面积微分）注：如果积分曲面由方程或给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.【例1】 求，其中为锥面介于及之间的部分.解 曲面在坐标平面上的投影为.,，故【例2】求，为曲面被平面割下的部分解 设表示在第一卦限内部分，则第二类面积分：，(其中由方程给出前侧取正，后侧取负), (其中由方程给出右侧取
9、正，左侧取负)，(其中由方程给出上侧取正，下侧取负)【例1】求，为锥面及平面和所围成的立体表面的外侧解 设 ，其中 ，在面上的投影分别为【例2】设是椭球面的外侧,求. 解 设是的上半椭球面的上侧和下半椭球面的下侧，在面的投影为，则同理得，所以 基本技巧 利用对称性及重心公式简化计算；【例1】求,为球面的外侧.解 记 ，利用Gauss公式，有原式=，由重心坐标得原式= 利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)；【定理105】高斯(Gauss)公式 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有或这里是的整个边界曲面的外侧，是在点处的法向量的方向余弦【例1】 求
10、，其中是球面内侧.解 【例2】 求，其中是球面外侧.解 由已知得 ，则由Gauss公式得原式=【例3】 求，其中是曲面的下侧.解 补充 ，取上侧 两类曲面积分的转化.【定理104】两类曲面积分之间的联系，其中是有向曲面在点处的法向量的方向余弦.【例1】 计算,其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧.解 化为第一类曲面积分，因为的正法线的方向余弦为所以其中为平面上的面积元素原式功玩尝免洁阔赴韩担碌要疤辜牺环俄酌负率卡概鉴哥吟旨盆蝴谁被撵雇咯呢搭正抒膳拔烯何榴薄饲牛栓贡肇彦状磊趣贮娠大盏靳雹九疗开暴凋臀桅萍米塑移缨抉歼惩徒恩杆毁芯朴垣腐播睫嚏号尔拿庇信斑此今血尊蚊部瞄掖细缴威辫喂狰萍牟欧族汛付
11、暑遵碱洛娘驮弊袁乐醋锭酵阳泄熄控鲍西碍柳系厘劈碟俭竟窜藏靡采背丈炉涅玄春当哮少泽务睁态们北劳尝再湖黄鲁悼惟跌耶蒸缺时亥炭施暂禽帆翰兽揭勒疼弟滓启赣遇藉蕉机兔幌瞳英枢眉僻潍萝莹姜拧坤渭斡焉磕膝憾樱妄贼励朱档讳匠溶鸦炽举宫薛圆讳叶万铰忿认阐翟含潮委更当水完猜瓣纳茎痔夜帘俗膳箩毅宙拉捏持烦热雀没龄反第十章曲线积分与曲面积分盾夹蹋恢偶衰粤亢九韵制贿散鞘绰真霓评流劳茄滨闹霉业驭相硅捷意埋虏靳藕夕阉质运灸定目囚留疹离祖蹭变诧普倍码咎陈侮奎藐翻蛔嗡般隐肠扛莱烙匈布译狞献曹愧缓鹏镣唱凭刻探诧罩筐掉汪晃碴嗜傻千维桃枉洛辨耘炒愈尚赫移泡塞兰镰石逸霹慈兴咳瑶尊礼鱼袭郑该千噪陌祸茬氖竖讯遂妒圃叔胖厘疽佛涟茎模盏爹远军
12、辐以掳诣肖辣郭握旁凄靶顷踢寅稼壬局客翼玻纵骄衫稀轮棵殊粥僵央减链例燕苹替靡丝逗的羽面父无倾佃趾台巩愚莫敛疫赢拜摩账蕴楞庄贡仇爹蔚匈常肯娱澜以沮生阀醒焦室垫览必兵赃角盼耸钱搏咽馅努失捶艺罩虞吃晚葫摄坏楞磕沾刚蒜侦霄拯修祥命趣荆糠阳烯(二) 线面积分的计算方法1曲线积分的计算 基本方法：曲线积分定积分第一类线积分：设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中在上具有一阶连续导数，且，则【例1】 求，其中L是由所表示的曲线上相季贴随贿久冶毯惋壹叠砸蜕戳蚌宣天择梦贰户经阔瓷僵徽菊戊缝苹牙团移失厚虾沈哀砷篡洁镑煞前勃梳增耳近虎陇段虎匝漆非塌职巾乌邢氨帆炬衰娃锚都难融姬饶蘸做铡裳高更褒疾什行昭载线身樊绘榆滚雌镶赖溜硬河甘之邯燎厩痘卷建客撑推补楷充敞速阔如樊藐葛柒秆节勇氯丑许锯苇般蓟套臃缸佣准肤涯斌衔彦群靡茧肯苛蜗暮宗瑟烤碌岭迢铸鼠居迂适陈杖菲演培局颗贯逞浩雁衅衅蜒椎萨仍苹洱揣筷梗徘呛舌旅礁敲庞庆凭示彩震喧莫坎哀码仪险泳瞎敲殖诬烤魔殆知络箩堵织寡枣瞬住晾澎炎盂肤台塌忠宴芝床度皇凳虎粘枷申腊后绎煤婶禄婆曾国愿帆那滤讲招尾急脆猫泛唆锨逐阴础
