《【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)：第1章_集合与函数概念_§13_函数的奇偶性[1]._新课标》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)：第1章_集合与函数概念_§13_函数的奇偶性[1]._新课标（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2奇偶性1函数奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数理解函数的奇偶性要注意以下四点：(1)函数的奇偶性与单调性的差异奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，才能说f(
2、x)是奇(偶)函数(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则x必然在定义域中，因此，函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性如函数y2x在(，)上是奇函数，但在2,3上则无奇偶性可言(3)既奇又偶函数的表达式是f(x)0，xA，定义域A是关于原点对称的非空数集(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)0.2用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(1)要判断一个函数是否
3、具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(x)与f(x)的关系：若f(x)f(x)，则此函数为奇函数；若f(x)f(x)，则此函数为偶函数；若f(x)f(x)，同时f(x)f(x)，则此函数为既奇又偶函数(2)在判断f(x)与f(x)的关系时，可以从f(x)开始化简，也可以去考虑f(x)f(x)或f(x)f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑，与1或1的关系3奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，
4、则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在0，)(或(，0)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在称的两个区间上的单调性是相反的. 题型一函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性：(
5、1)f(x)x32x；(2)f(x)2x43x2；(3)f(x)x22x5; (4)f(x)x2，x(0，)；(5)f(x).分析本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义，应注意两个方面：(1)函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，只有f(x)0 (xR或x(a，a)，a0)既是奇函数又是偶函数(2)从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称，其次f(x)f(x)或f(x)f(x)必有一成立解(1)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(x)(x)32(x)(x32x)f(x)，所以函数f(x)x32x是奇函数
6、(2)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(x)2(x)43(x)22x43x2f(x)，所以函数f(x)2x43x2是偶函数(3)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(x)(x)22(x)5x22x5，所以f(x)f(x)，且f(x)f(x)，所以函数f(x)x22x5既不是奇函数也不是偶函数(4)函数的定义域为(0，)，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)x2，x(0，)既不是奇函数也不是偶函数(5)函数的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数点评对于整式函数f(x)a0a1xa2x2anxn
7、 (nN)，若解析式中只含有x的偶次方项(a0可看成a0x0，即a0可看做是x0的系数，也就是说a0也是x的偶次方项的系数)，x的奇数次方项的系数都为零，则f(x)为偶函数；若f(x)的解析式中只有x的奇次方项(偶次方项的系数都为0，包括a00)则f(x)为奇函数；若奇次方项与偶次方项均存在，则f(x)为非奇非偶函数，尤其要注意在判断之前一定要先看定义域是否关于原点对称，如第(5)小题容易先化简成f(x)x2，忽视定义域得出偶函数的结论判断分段函数f(x)的奇偶性分析本题若画出图象，可直观形象地看出其奇偶性，但是不严格；利用定义判断此函数的奇偶性，需分x(6，1、x1,6)两种情况说明解f(x
8、)的定义域为(6，11,6)，关于原点对称当x(6，1时，x1,6)，f(x)(x5)24(x5)24f(x)；当x1,6)时，x(6，1，f(x)(x5)24(x5)24f(x)综上可知，对于x(6，11,6)，都有f(x)f(x)故f(x)是偶函数点评分段函数的奇偶性应分段判断f(x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性 题型二奇、偶函数的图象已知yf(x)与yg(x)的图象如图所示，则函数F(x)f(x)g(x)的图象可以是()解析由图象可知函数y=f(x)与y=g(x)均为奇函数f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，F(x)=f(x)g(x)
9、=-f(-x)-g(-x)=F(-x)所以函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数注意到函数y=f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y=g(x)在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A.答案A点评由函数图象判断函数奇偶性是一项基本要求与基本能力本题是判断奇函数、偶函数积的奇偶性，结合图象中所凸显的特征(如函数的定义域、与x轴的交点、图象是在x轴的上方还是下方)，将图象信息用于分析函数的单调性、奇偶性等函数特征因此在平时的训练中要加强对图象的识别能力和结合函数性质分析图象的能力 题型三函数单调性、奇偶性的 综合应用设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)
10、f(m)，求实数m的取值范围分析已知条件较多，充分利用已知条件：f(1m)f(m)，则f(|1m|)f(|m|)解因为f(x)在2,2上为偶函数，f(1m)f(m)所以即解得m2.点评(1)满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个很容易被忽视的问题，要加以重视；(2)在解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉(3)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论判断函数f(x)(x1)的奇偶性错解将解析式变形为：f(x)，f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数错因分析没有考查函数定义域的对称性正解函数f(x)的定义由0知
11、1x1.因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数高考要求掌握函数奇偶性的概念从考查形式上看：一方面考查函数奇偶性定义的应用，属于试卷中的容易题，注重概念的娴熟应用；另一方面综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，一般属于试卷中的中档题，注重对概念的深刻理解，注重对数学思想方法及能力的考查1(全国高考)函数f(x)x的图象关于()Ay轴对称 B直线yx对称C坐标原点对称 D直线yx对称解析f(x)x，f(x)xf(x)f(x)是一个奇函数f(x)的图象关于原点对称答案C2(湖北高考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于(
12、)A2 B2 C98 D98解析f(x4)f(x)，T4，f(7)f(78)f(1)f(1)2122.答案A3(上海高考)已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在2，)上是增函数，求实数a的范围解(1)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2 (a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)方法一设2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在
13、x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立x1x20，x1x24，即ax1x2(x1x2)恒成立又x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是(，16方法二当a0时，f(x)x2，显然在2，)上为增函数当a0时，反比例函数在2，)上为增函数，f(x)x2在2，)上为增函数当a0时，同方法一.1下列函数既是奇函数又是偶函数的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案A解析选项A中，f(x)0，x1,1该函数既是奇函数又是偶函数2下列说法错误的个数为()图象关于原点对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象一定与y轴相交A4B3C2D0答案C解析正确3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1 B0 C1 D2答案B解析由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，故知函数yf(x)的周期为4，f(6)f(42)f(2)f(0)f(x)是R上的奇函数，易知f(0)0，f(6)f
