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1、此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第11课时函数与导数的综合应用教师用书高考趋势 导数是中学选修内容中最为重要的内容，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点”处命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、数形结合等数学思想方法，因此近几年来加大了导数的考查力度.主要有如下几方面：求斜率：在曲线的某点有切线，则求导后把横坐标代进去，则为其切线的斜率；有关极值：就是某处有极值，则把它代入其导数，则为；单调性的判断： ，单调递增；，单调
2、递减，和一些常见的导数的求法. 要熟练一些函数的单调性的判断方法有，作差法，作商法，导数法；对于含参范围问题，解决方法有，当参数为一次时，可直接解出通过均值不等式求最值把其求出；当为二次时，可用判别式法或导数法等求.而此种题型函数与方程仍是高考的必考，以函数为背景、导数为工具，以分析、探求、转化函数的有关性质为设问方式，重点考查函数的基本性质，导数的应用，以及函数与方程、分类与整合等数学思想.其中试题灵活多变。一基础再现考点1.导数的概念1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为 考点2.导数的几何意义2.（07宁夏、海南卷）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 考
3、点3.导数的运算3.是的导函数，则的值是考点4.利用导数研究函数的单调性和极大（小）值4.函数的一个单调递增区间是 5.（08江苏卷14）对于总有成立，则= 考点5.函数与导数的综合应用6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 个7.（07宁夏、海南卷）设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值二感悟解答1.答案：s=6t2，s|t=3=54. 2.答案：解：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以.评析：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2求切线方程的步骤是：（1）明
4、确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点. 3. 解：是的导函数，则=34. 解：，即或（理科要求：复合函数求导）5. 答案：4评析：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。6.解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的有1个数。7. 解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为三范例剖析例. 已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。(
5、)求的方程；()设与轴交点为。证明： ； 若，则思路分析（1）欲求切线的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线在点的一阶导数值。（2）分析：要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然，变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式，就成； 欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可。解：求的导数：，由此得切线的方程：。()证：依题意，切线方程中令y0，. 由.。点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2求切线
6、方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点。辨析：已知函数（）的图象为曲线（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由思路分析（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围即求的取值范围；（2）即求的x的取值范围；（3）此小问是探究问题，可以先设存在解：（1），则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；（2）由（1）
7、可知，-解得或，由或得：；（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B， 则切线方程是：， 化简得：， 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 则有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。例.设函数（1）当k=2时，求函数f(x)的增区间；（2）当k0时，求函数g(x)=在区间（0，2上的最小值（南通市2020届高三第一次调研考试）思路分析 先对函数求导，再利用导数y的正负判断函数的单调性或求函数的极值（或最值） 解：（1）k=2，则=0，（此处用“”同样给分）注意到x0，故x1，于是函数的增区间为（2）当k0时
8、，g(x)=g(x)=，当且仅当x=时，上述“”中取“=”若，即当k时，函数g(x)在区间上的最小值为；若k-4，则在上为负恒成立，故g(x)在区间上为减函数，于是g(x)在区间上的最小值为g(2)=6-k 综上所述，当k时，函数g(x)在区间上的最小值为；当k-4时，函数g(x)在区间上的最小值为6-k 点评：本题涉及对数函数的导数，引导师生重视诸如对数函数、三角函数等导数的运算基本不等式的使用必须注意对取“=”条件的验证分类讨论，必须要有分有合，也就是最后必须合辨析：设 （1）令讨论F（x）在内的单调性并求极值；（2）求证：当x1时，恒有解：（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20极小
9、值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）证明：由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有点评：利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法是新课改一个重点内容也是考试的热点。例.已知(1) 求函数在上的最小值；(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；(3) 证明: 对一切，都有成立思路分析（1）求其最值问题可以求极值，在求解过程中注意端点与区间的关系，（2）可以把此问题转化为不等式恒成立来解决，（3）观察所给不等式的特征不难发现此问与（1）一定的联系。解： (1) ，当，单调递减，当，单调递增 ，t无解； ，即时，；
10、 ，即时，在上单调递增，；所以(2) ，则，设，则，单调递减，单调递增，所以因为对一切，恒成立，所以；（3） 问题等价于证明，由可知的最小值是，当且仅当时取到设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立点评：导数是中学选修内容中最为重要的内容，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点”处命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、数形结合等数学思想方法。辨析：设（e为自然对数的底数） （1）求p与q的关系； （2）若在其定义域内为增函数，求p的取值范围； （3）证明： ；（nN，n2）解：（1）由题意 （2
11、）由（1）知：（x0）令h(x)=px22x+p.要使g(x)在（0，+）为增函数，只需h(x)在（0，+）满足h(x)0恒成立.即px22x+p0上恒成立又所以 （3）证明：即证：lnxx+10 (x0)，设.当x（0，1）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（1，）时，k(x)0，四巩固训练1.（07湖北卷）已知函数的图象在点处的切线方程是，则解： 由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以3.2.(08全国II) 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 解：已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=2，由于x0可得：x=33.（08宁夏、海
12、南卷）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 解：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以：4.(08广东卷) 函数的单调递增区间是 解： 对f(x)求导，f(x)=ln x+1,令f(x)0得x，从而知f(x)的单调增区间为(，+)。5当时，恒成立，则实数m的取值范围是_m2_6.点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是 ；7已知函数f(x)=在区间(内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是选择道填空题或道填空题道解答题8.已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；(III）当时,若在内恒成立,求的取值范围.解: （I）依题意,即,.上式恒成立, 又,依题意,即,.上式恒成立, 由得.（II）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知 令由 列表分析:(0,1)1(1,+)-0+递减0递增知在处有一个最小值0, 当时,0,在(0,+)上只有一个解.即当x0时,方程有唯一解.（III）设, 在为减函数 又 所以：为所求范围.
