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1、几何探究题教师几何探究题 如图1，图2，图3，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O 如图1，求证：ABEADC； 探究：如图1，BOC= o； 如图2，BOC= o； 如图3，BOC= o 如图4，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE，CD的延长相交于点O 猜想：如图4，BOC= o； 根据图4证明你的猜想 证法一：QABD与ACE均为等边三角形， 2分 AD=AB，AC=AE 且BAD=CAE=60 3分 oBAD+BAC=CAE+BAC， 即DAC
2、=BAE 4分 5分 ABEADC 证法二：QABD与ACE均为等边三角形， 2分 AD=AB，AC=AE 且BAD=CAE=60 3分 o 4分 ADC可由ABE绕着点A按顺时针方向旋转60o得到 5分 ABEADC 120，90，72 8分 ooo360o 10分 n证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，AB=AD，AE=AC， (n-2)180o BAD=CAE=n 11分 BAD-DAE=CAE-DAE，即BAE=DAC 12分 ABEADC 13分 ABE=ADC，QADC+ODA=180o，ABO+ODA=180o QABO+ODA+DAB+BOC=360o，BOC+
3、DAB=180o (n-2)180o360o 14分 BOC=180-DAB=180-=nnoo证法二：同上可证 ABE 12分 ADC ABE=ADC，如图，延长BA交CO于F， QAFD+ABE+BOC=180o， 13分 AFD+ADC+DAF=180o 360oBOC=DAF=180-BAD= 14分 no证法三：同上可证 ABE 12分 ADC ABE=ADCQBOC=180o-(ABE+ABC+ACB+ACD) BOC=180o-(ADC+ABC+ACB+ACD) QABC+ACB=180o-BAC，ADC+ACD=180o-DAC BOC=180o-(360o-BAC-DAC)
4、13分 360o即BOC=180-BAD= 14分 no证法四：同上可证 ABE 12分 ADC AEB=ACD如图，连接CE，QBEC=BOC+OCE AEB+AEC=BOC+ACD-ACE 13分 BOC=AEC+ACE 360o即BOC=180-CAE= 14分 no注意：此题还有其它证法，可相应评分 请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段a(a+b)(a-b)的中点，连结PG，PC若ABC=BEF=60o，探究PG与PC的位置关系PG的值 PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 C
5、 D C D P G F P G F B A E A B 图1 图2 E 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 及PG的值； PC将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形你在中得到的ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及若图1中ABC=BEF=2a(0oa90o)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，PG的值 PC 线段PG与PC的位置关系是PGPC； PG 2分 =3 PC原问题中的其他条件不变，请你直接写出 猜想：中的结论没有发生变化 证明：
6、如图，延长GP交AD于点H，连结CH，CG QP是线段DF的中点， FP=DP 由题意可知ADFG D GFP=HDP H QGPF=HPD， GFPHDP A GP=HP，GF=HD Q四边形ABCD是菱形， C P B E G F CD=CB，HDC=ABC=60o 由ABC=BEF=60o，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上， 可得GBC=60o HDC=GBC Q四边形BEFG是菱形， GF=GB HD=GB HDCGBC CH=CG，DCH=BCG DCH+HCB=BCG+HCB=120o 即HCG=120o QCH=CG，PH=PG， PGPC，GC
7、P=HCP=60o PG 6分 =3 PCPG 8分 =tan(90o-a) PC如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 求AD的长； 设CP=x，问当x为何值时PDQ的面积达到最大，并求出最大值； 探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. 解法一：如图25-1 过A作AECD，垂足为E . 9-45=. 2分 22DE5 在RtADE中，AD=2=5. 5分 cos602 依题意，DE= 解法二：如图25-2 过点A作AEBC交CD于点E，则CE=AB=4 . 2分 AED=C=60. 又D=C=60， AED是等边三角形 . AD=DE=94=5 . 5分 解：如图25-1 CP=x，h为PD边上的高,依题意，PDQ的面积S可表示为： S=图25-2 图25-1 1PDh 6分 21=(9x)xsin60 2=3(9xx2) 438139(x)2. 8分 41628139时，S最大值=. 10分 1
