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1、0 0 2 2函数的最值知识梳理1. 函数最大值一般地，设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I . 如果存在实数 M 满足：对于任意 x 都有 f ( x ) M .存在 x I ，使得 f ( x ) =M .0那么，称 M 是函数 y = f ( x) 的最大值.2. 函数最小值一般地，设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I . 如果存在实数 M 满足：对于任意 x 都有 f ( x ) M .存在 x I ，使得 f ( x ) =M .0那么，称 M 是函数 y = f ( x) 的最小值.注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素 3
2、. 函数的最值与其单调性的关系（1）若函数在闭区间 a, b 上是减函数，则 f ( x ) 在 a, b 上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；（2）若函数在闭区间 a, b 上是增函数，则 f ( x ) 在 a, b 上的最大值为 f( 4二次函数在闭区间上的最值b)，最小值为 f(a)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y = f ( x) 的草图，然后根据图象的增减 性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间 上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得例题精讲例 1求函数 f ( x) =3 x 在0,3上的
3、最大值和最小值解：因为函数 f ( x) =3 x 在0,3上单调递增所以 f ( x) =3 x 在0,3上的最大值为 f (3) =3 3 =9 ；f ( x) =3 x 在0,3上的最小值为 f (0) =3 0 =0 ；例 2求函数2y = 在区间2，6上的最大值和最小值 x -1解：函数2 2y = 的图象如下图所示，所以 y = 在区间2，6上单调递减； x -1 x -1所以2y = 在区间2，6上的最大值为 x -122 -1=2；最小值为 = . 6 -1 5题型一利用图象求最值1 / 5min2 1 21 21 2 1 2 例 3求下列函数的最大值和最小值.（1）5 3y
4、=3 -2 x -x 2 , x - , 2 2（2）y =|x +1| -| x -2 |解：（1）二次函数y =3 -2 x -x2的对称轴为 x1.画出函数的图象，由下图，可知：当 x =-1时，y =4 ；当 x = max3 9 时， y =- . 2 4所以函数y =3 -2 x -x25 3, x - , 最大值为 4，最小值为 - 2 294.（2）3,y =|x +1| -| x -2 |=2x -1,x 2-1 x 2-3,x -1作出函数图象，如下图，可知： y -3,3 所以函数的最大值为 3, 最小值为3.题型二利用函数单调性求最值例 4求函数9f ( x) =x +
5、 在 x 1,3 上的最大值和最小值.x分析：先判断函数的单调性，再求最值.解：因为所以1 x x 31 2f ( x ) -f ( x ) =x + 1 2 19 9 9 9-( x + ) =x -x +( - ) =x -x + x x x x1 2 1 29( x -x ) 2 1x x1 2=( x -x )(1-1 29x x1 2)因为1 x x 3 所以 x -x 0 ， x x 91 2 1 2 1 29所以 1 - 0 , f ( x ) f ( x ) x x1 2所以9f ( x) =x + 在区间 1,3 上单调递减；x2 / 51 2 1 2 1 2 1 2所以求函
6、数 f ( x) 在 x 1,3 上的最小值为9 18 9f (3) =3 + = ，最大值为 f (1) =1 + =10 .3 3 1题型三函数最值的应用例 5已知函数f ( x) =x2+2 x +a x， x 1,+)（1）当1a = 时，求函数 f ( x) 的最小值. 2（2）若对任意的 x 1,+)， f ( x) 0 恒成立，试求 a 的取值 X 围.解：（1）当1a = 时， f ( x) = 2x2+2 x +x12设则1 x x1 21 1f ( x ) -f ( x ) =( x + +2) -( x + +2)2 x 2 x1 2x -x 2 x x -1=( x -
7、x ) + 2 1 =( x -x ) 1 22 x x 2 x x 1 2 1 2因为 x -x 1 ， 2 x x -1 01 2 1 2 1 2所以 f ( x ) - f ( x ) 0 ， f ( x ) 0 对 x 1,+)恒成立x2+2 x +a 0 对 x 1,+)恒成立a -x2 -2 x 对 x 1,+)恒成立令u =-x2 -2 x =-(x +1)2 +1 ，其在 1,+)上是减函数，当 x =1 时，umax=-3.因此 a -3.故实数 a 的取值 X 围是 ( -3, +)课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1 函数 f(x)2x6 x1，2 x7 x1，1，
8、则 f(x)的最大值、最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对3 / 52 已知 f(x)在 R 上是增函数，对实数 a、b 若 ab0，则有( )Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)3. 若 f(x)x22ax 与 g(x)a在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值 X 围是( ) x1A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1C(0,1) 4 函数 y|x3|x1|有( )A最大值 4，最小值 0B最大值 0，最小值4C最大值 4，最小值4D最大值、最小值都不存在D(0,15 函数 yx210x11 在区间1,2上的最小值是_6 如果函数 f(x) x2 2x 的定义域为 m， n ，值域为 3,1 ，则 |m n| 的最小值为 _7. 已知函数f ( x) =x2-2 x -3 ，若 x t , t +2 时，求函数 f ( x) 的最值.8. 求函数 f ( x ) =xx -1在区间 2,5 上的最大值和最小值.4 / 59. 已知函数 f(x)x22ax2，x5，5.（1）当 a1 时，求 f(x)的最大值和最小值；（2）求使函数 yf(x)在区间5，5上是单调函数的 a 的取值 X 围5 / 5
