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1、 高三文科数学专项复习之圆锥曲线 知识归纳:名称椭圆双曲线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数(不小于）的动点的轨迹叫椭圆即 当2时,轨迹是椭圆, 当22时,轨迹是一条线段当2时,轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（不不小于）的动点的轨迹叫双曲线即当时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当2时,轨迹不存在原则方 程焦点在轴上时： 焦点在轴上时: 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时:常数的关 系 ， 最大,最大，可以渐近线 无焦点在轴上时:焦点在轴上时:抛物线：图形方程焦点准线(一)椭圆1. 椭圆的性质：由椭圆方程 (1）范畴:,椭圆
2、落在构成的矩形中。 （）对称性:图象有关y轴对称。图象有关x轴对称。图象有关原点对称。原点叫椭圆的对称中心,简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范畴，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:,。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 (4）离心率:椭圆焦距与长轴长之比。椭圆形状与的关系:，椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可觉得圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段,此时也可觉得是椭圆在时的特例。 2 椭圆的第二定义:一动点
3、到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一种内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线,常数就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于,左准线;右准线对于,下准线;上准线焦点到准线的距离（焦参数)(二）双曲线的几何性质: 1. ()范畴、对称性由原则方程,从横的方向来看，直线x,x=a之间没有图象,从纵的方向来看，随着的增大，y的绝对值也无限增大，因此曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （）顶点 顶点:，特殊点: 实轴:长为2a,a叫做实半轴长。虚轴:
4、长为2b，叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差别。 （3)渐近线 过双曲线的渐近线(） (4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范畴：1 双曲线形状与的关系：，越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 2 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质:（）渐近线方程为：;（2）渐近线互相垂直;(3）离心率。 3 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:或写成。 4共轭双曲线 以已知双曲线的实轴
5、为虚轴,虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别:三量，b，c中a,不同（互换）c相似。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。拟定双曲线的共轭双曲线的措施:将1变为1。 双曲线的第二定义:到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中,定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。 6 双曲线的准线方程: 对于来说，相对于左焦点相应着左准线，相对于右焦点相应着右准线； 焦点到准线的距离(也叫焦参数)。 对于来说,相对于下焦点相应着下准线；相对于上焦点相应着上准线。(三)抛物线的几何性质 （1)范畴 由于p0,由方程可知
6、，这条抛物线上的点M的坐标(x,）满足不等式0，因此这条抛物线在y轴的右侧;当的值增大时,|y|也增大,这阐明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性 以代y,方程不变，因此这条抛物线有关x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中,当y=时,x，因此抛物线的顶点就是坐标原点。 (4)离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率,用表达。由抛物线的定义可知,e1。【典型例题】 例1. 根据下列条件，写出椭圆方程 （）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为12、长轴长为8； (）和椭圆x+4y2有相
7、似的焦点,且通过点（2,3）； （3）中心在原点，焦点在x轴上,从一种焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的距离是。 分析:求椭圆的原则方程,一方面要根据焦点位置拟定方程形式，另一方面是根据2=b2+c2及已知条件拟定a2、b2的值进而写出原则方程。 解:(1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上 因此有两解: ()焦点位置拟定，且为(0,),设原方程为,（ab0），由已知条件有,故方程为。 （）设椭圆方程为,(0) 由题设条件有及a2c2,解得b 故所求椭圆的方程是。 例. 直线与双曲线相交于、两点，当为什么值时,A、B在双曲线的同一支上?当为什么值时,A、B分别在双曲线的两支上?
8、解：把代入 整顿得：() 当时, 由0得且时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点若A、B在双曲线的同一支，须0,因此或。 故当或时,A、两点在同一支上；当时,A、B两点在双曲线的两支上。 例3 已知抛物线方程为（0）,直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求的值。 解：设与抛物线交于 由距离公式AB| 则有 由 从而 即 由于0,解得 例. 过点(1,0)的直线与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、两点，直线y=x过线段AB的中点，同步椭圆C上存在一点与右焦点有关直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.解法一:由e=,得,从而a2=2b,c=b.设椭圆方程为x+2y2=
9、22,(x1,y1）,B（x2,2)在椭圆上.则2212=b2,x22+22b2,两式相减得，（x1-22)+2（y2y22）=0,设AB中点为(x0，y),则A=-,又（x,y)在直线y=x上，y0x,于是=-1,k1,设l的方程为=-x1.右焦点(,0)有关的对称点设为(,y),由点(1，1b)在椭圆上，得+(1-)22b2,b2=.所求椭圆的方程为=,的方程为y=-+1.解法二：由e=,从而a2=b2,cb.设椭圆C的方程为x2+2y2=2,的方程为y=k(1）,将l的方程代入C的方程，得(1+2k)24k2x+22b2=，则x1+x2=,y1+y2k(x-1)k(x2)=k(+x2)-
10、2k=-.直线l：yx过AB的中点(),则,解得=0,或k=1.若=,则l的方程为=0，焦点F(c,0)有关直线l的对称点就是F点自身，不能在椭圆上，因此k=0舍去,从而k=1,直线l的方程为y-(x-1),即y=1,如下同解法一.解法3:设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则B中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，,，,，,，,则，, 因此所求的椭圆方程为: 例5. 如图,已知12的面积为,P为线段P12的一种三等分点,求以直线P1、OP2为渐近线且过点的离心率为的双曲线方程.解:以为原点,PP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为(a，b）由e2=,得.两渐近线O1、OP
11、2方程分别为=x和=x设点P1（x， x1),P2(2,-x2)(x0,x20),则由点P分所成的比=,得点坐标为(），又点在双曲线=1上,因此=1,即（x+2)2(x-2x2)2=9a2,整顿得8x129a 即x由、得a24，b2=9故双曲线方程为=1.例6 已知点（-1,0）,(,0），P是平面上一动点，且满足(1）求点P的轨迹相应的方程;()已知点A(m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦D和AE,且ADAE,判断:直线DE与否过定点?试证明你的结论（3）已知点A（m,2）在曲线上,过点A作曲线C的两条弦D，AE,且AD，AE的斜率k1、2满足k12.求证:直线E过定点，并求出这个定
12、点解:(1)设【模拟试题】（答题时间:50分钟)一、 选择题 . 是任意实数，则方程所示的曲线不也许是（ ） A. 椭圆 B.双曲线 C. 抛物线 D.圆 已知椭的一条准线方程是，则实数的值是() . 7或B. 4或12C. 1或5D. 0 3 双曲线的离心率，则的取值范畴为（ ) B. (-12,0) C. (3，） D. （60，2) . 以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ） A.B. C. D . 抛物线的焦点坐标为（ ) A. C. . 6. 已知点A（2，1）,的焦点为F,P是的点,为使获得最小值，点的坐标是（ ) . . . 7. 已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为( ） A . . . 8.抛物线到直线距离近来的点的坐标为（ ) A B.C. . .动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点( ) A. （，0） B.（2,) . (0，2） （0，2）10.中心在原点，焦点在坐标为（0，）的椭圆被直线3x-y2截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为（ )二、填空题 1. 到定点(2,0）的距离与到定直线的
