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1、第二章习题解答一、单项选择题1 .若”,4线性相关，则()(1) a1,|,asA线性无关(2)必有一部分线性无关(3)必有一个可由其余的线性表示(4)每一个都可由其余的线性表示2 .线性方程组 Xi X2 &, X2 X3 a2, X3 X4 a3, X4 % = a4,X5 _ Xi =为 有解的充分必要条件是()(1) ai =0,i =1,|1,5 ai+a2+a3+a4+a5 =0(3) aI+a2 =a3+a4+%(4) a + a?+a3 = a4+a53 .若 AX =AY ,且 A#0 ,则 X 与 Y ()(1)必相等(2)必不相等(3)不能确定它们的关系(4)以上全不对X
2、1 2x2 x3 -x4 =04 .线性方程组 3 3x1 +6x2 -x3 -3x4 =0 一定是()5x1 10x2 x3 -5x4 = 0(1)只有零解(2)有非零解(3)无解(4)解唯一 - X X2 X3 = 15,非齐次线性方程组 X X, 十九X2 +x3 =%有无穷多解的条件是()IX1 X2- X3 =(1)九=1(2)九 #1(3)九# 2(4)九=26.设向量组 A的秩为，向量组B的秩为万，若A组能用B组线性表示，则()(1) r1M r2 r2q (3)号=2(4)r12r2anX1 -HI - amXn =07 .设齐次方程组川川川Hill的系数矩阵的秩为r,则它的基
3、础解系所含向量的(3m1X1 *| *amnXn - 0个数为()(1) r(2)n -r (3) n (4) n + r8 . 一个向量组中的极大线性无关组()9. r(A)=门是口元线性方程组 AX=B有唯一解的(1)充分必要条件(2)充分条件(3)必要条件(1)个数唯一(2)个数不唯一(3)所含向量个数唯一(4)所含向量个数不唯一(4)无关条件)10.向量组 3=(2,1,1,1)02 =(0,3,1,0),口3 =(5,3,2,1)04 =(6,6,1,3)的秩是()(1) 1(2) 2(3) 3(4) 411 .设B是数域K上n阶可逆矩阵，对于K中任意n个数h,川，bn,线性方程组B
4、 x2 =的解() +h+r(3)不存在 (4)存在与否不确定jXn - P 1% +X2 +X3 +X4 +% =0的基础解系所含向量的个数是()(1)存在且唯一 (2)存在但不唯一12 .齐次线性方程组(1) 4(2) 3(3) 2(4) 113 .向量组四”,5线性无关的条件是()(1)当 kj|,k,全为 0时，k% +”| + k% =0 (2)当 k1,|,kr 不全为 0 时，+“|+10(=0(3)当 k1,|,kr 全为 0 时，k1% +“|+kQr 00(4)当且仅当 kJH,kr 全为 0 时，kQ1+|+krO(r=014 .已知m个方程组n个未知量的一般线性方程组A
5、X = B有解，则有无穷多解的条件是()(1) m0n (2) m = n (3) r(A) n(4) r(A) = n15 .设豆1,|Qm线性无关，若口能由%,IHPm线性表示，则表示法有()(1)有限个(2)无穷多个 (3) 一个(4)不确定16 .含有零向量的向量组必()(1)线性无关(2)线性相关(3)没有极大无关组(4)以上说法都不对17 . 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩r与方程组未知量个数 n的关系为()(1) r n (3) r = n (4) r 与 n 的关系不确定18 .如果n个未知量n个线性方程组系数行列式不为零，那么这个方程组()(1)有唯一解(
6、2)有无穷多解(3)无解(4)有解也可能无解19 .设A是4阶矩阵，且 A的行列式为0,则庆中()(1)必有一列元素全为 0(2)必有两列元素对应成比例(3)必有一列向量是其余列向量的线性组合(4)任一列向量是其余列向量的线性组合1 2 320 .已知Q = 2 4 t ,P为三阶非零矩阵，且满足 PQ = 0,则() 3 6 9_(1) t=6时，t(P)=1(2) t=6时，t(P)=2(3) t=6时，t(P)=1(4) t06时，t(P)=221.已知向量组“1,0(2 p3，口4线性无关，则() % +2,2 +口3,口3 +4,4 +% 线性无关(2) 0(1 CC2p2 一口3,
7、口3一口4,久4 _“1 线性无关(3 ) % +2,2 F23 +汽4,久4 -1线性无关(4 ) % +% +%,豆3 T444 %线性无关22 .已知P1，P2是非齐次线性方程组 AX=b的两个不同的解，口1,支2是对应齐次线性方程组AX = 0的基础解系，k1,k2是任意常数，则方程组 AX = b的一般解是() 1% +k2(%+%)+出)/2 kJ+k2(% %) + (01 + %)/2 kR+k2(，+用)+僖-%)/2(4)2+卜2信邛2)+(%邛2)/223 .设A为mn矩阵，齐次线性方程组 AX =0仅有零解的充分条件是()(1) A的列向量线性无关(2) A的列向量线性
8、相关(3) A的行向量线性无关(4) A的行向量线性相关24.设A为mn矩阵，AX =0是非齐次线性方程组 AX = b所对应的齐次线性方程组， 则下列结论正确的是()(1)若AX =0仅有零解，则AX =b有唯一解(2)若AX =0有非零解，则AX =b有无穷多个解(3)若AX =b有无穷多个解，则 AX =0仅有零解(4)若AX =b有无穷多个解，则 AX =0有非零解25.要是X1 =(1,0,2), X2 =(0,1,1)都是线性方程组 AX =0的解，只要系数矩阵为()2 0-1(1)笛1 1 一01-1(2) 4 -2 -20 11j1-1 0 2(3) I：0 1 -1一(4)
9、(-2,1,1):、填空题1 .仅由一个 向量组成的向量组必线性相关。2 .单独一个向量a线性无关的充分必要条件是 ,两个向量a,P线性相关的充分必 要条件是。3 . 一个向量组可能有多个极大无关组，它们所含的向量个数是 ,并称其为向量组的 O4 .设向量组2P3线性无关，则向量组 1,0(1 +2,1 +a2 +a3线性5 .如果口1,汽2,111,05之2,0(1 00)线性相关，则必有一个 i(1i n)可被 线性表示6 .如果向量组 四|,八(1)线性无关，并可由 身,川，丸(2)线性表示，则sr，且(2)与其中某r个向量被(1)替换后得到的向量组7 .如果向量组0fl,| ps(s至
10、2)中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组 8 . r(A) =r的充分必要条件是：A中至少有一个r阶子式不为零，而 9 .若两个向量组有相同的秩，且其中一个可以由另一个线性表示，则 10 .任意n+1个n维向量必线性11 .如果n1,n2,|,nt是一线性方程组的解，则邛1 +N2Tl2+111+收，(其中4 +也 +111 + 5 =1) 12 .线性方程组 AX =8有解的充分必要条件是 工a11X1 - HI - anXn = b113 .线性方程组 IIIIHHHIHIIIIIIIIHI经过某一初等变换后变为另一方程组，则新方程组 am1X1 UI amnXn - bm与原方
11、程组为出 HI - QnXn =014 .齐次线性方程组 lllinHIIIHIIIIIIHIII当mn时,它必有 解Iam1X1amnXn - 015 .如果齐次线性方程组系数矩阵 A的秩r等于未知量个数n ,则它只有 解16 .设A与A分别为n个未知量的线性方程组的系数矩阵和增光矩阵，则方程组有解的条件是,在有解时，如果r(A) = n ,则有 解，如果r(A)2)线性相关的充分必要条件是其中每一个向量都能被其余向量线性表不8 .向量组 a =(i, -i,2,4), a2 =(0,3,i,2)线性无关10 .包含两个相等向量的向量组是线性相关的11 .设A和A分别为线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组有解的充要条件是r(A) =r(A)aiiXi - III - ainXn =bi12 .线性方程组IIIIIIIHIIIIIIIIIHHII对任意的bjllbn都有解的充分必要条件是其系数aniXi III - annXn 也a11 III aii行列式 III HI III #0an1 III ann13 .一个向量组的任一线性无关的部分组都可以扩充成它的一个极大无关部分组14 .只含零向量的向量组的极大无关组为零向量15 .等价向量组的秩相等16 .如果口 1,口2*1，口线性无关，且kii +
