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1、高考重点突破数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度难点磁场t2t2()一次函数y=f(x)在x=处取得取小值(t0),f(1)=0.24求度f(x)的表达式；(2假设任意实数X都满足等式f(x)g(X)+anX+bn=Xn+1g(x)为多项式，nCN*
2、),试用t表示an和bn；(3)设圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=n2,圆与+1外切(n=1,2,3,);n是各项都是正数的等比数列，记S为前n个圆的面积之和，求rn、s.案例探究例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进展生态环境建立，并以此开展旅游1产业，根据规划，本年度投入800万兀，以后每年投入将比上年减少-，本年度当地旅游业收5入估at为400万元，由于该项建立对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年,、，1增加.4(1)设n年(本年度为第一年)总投入为&万元，旅游业总收入为bn万元，写出a,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题
3、意图：此题主要考察建立函数关系式、数列求和、不等式等根底知识；考察综合运用数学知识解决实际问题的能力，此题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属级题目.知识依托：此题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问a、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是此题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800X(11)万元，第n年投入为8
4、00x5(11)nT万元，所以，n年的总投入为5an=800+800X(11)+-+800X(1-1)n1=800x(1-)k15554口=4000x：1-(-)n5第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400X(1+1),，第n年旅游业收4入400X(1+1)n1万元.所以，n年的旅游业总收入为4bn=400+400X(1+1)+400X(1+1)k1=400X(5)k1.44k145n=1600x：(-)n-14(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn-an0,即:5x2 7x+20.解此不等式，得xv 2 , 5，至少经过5年,1例 2 Sn=1 +21600
5、X(5)n14000X：1-(-)n0,令x=(-)n,代入上式得:455或x1(舍去).即(f)nv2,由此得n5.55旅游业的总收入才能超过总投入.+,(nCN)设(门)=$门+1S+1,试确定实数m的取值围，使得对于2112 1一 、.lOg(m-1)m恒成立.203n一切大于1的自然数n,不等式：f(n)logm(m1)1命题意图：此题主要考察应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属级题目.知识依托：此题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙错解分析：此题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理技巧与方法：解决此题的关键是
6、把f(n)(nCN*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于logm(m1)2 1120log(m 1)m12.1解：: Sn=1 + 2一 .(ne N )f(n)S2n 1Sn又f (n1)f(n)(2n 22n 2 12n 4) (2n 31n 312n 312n 4)12n 112 2n 2 2n 3 2n 4.1.f(n+1) f(n).f(n)是关于n的增函数11 f (n) min= f(2)= 2 2 2 3，要使一切大于1的自然数920n,不等式f(n) logm(m1)1 21120lOg(m 1)m2恒成立只要 一 logm(m1)12011
7、lOg(m 120,m0,m1由得m1且mw2m10,m11此时设logm(m1)2=t那么t0911-t于是2020解得0Vt1t0由此得0Vlogm(m1)21且mw2.2锦囊妙计1 .解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的根底知识，又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解容许用性问题，应充分运用观察、归纳、猜测的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题2 .纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：3 1评理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力4 2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数
8、学关系.5 3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比拟扎实的根底知识和较强的数理能力歼灭难点训练一、选择题1 .()二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1,当a=1,2,，n,时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,dn,，那么lim(d+db+dn)的值是()nA.1B.2C.3D.4二、填空题2 .次)在直角坐标系中，O是坐标原点，Pi(Xi,y1)、P2(x2,族)是第一象限的两个点，假设1,Xi,X2,4依次成等差数列，而1,y1,V2,8
9、依次成等比数列，那么OP1P2的面积是.3 .(*)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，那么容器中有纯酒精升.4 .()据2000年3月5日九届人大五次会议破府工彳报告？:“2001年国生产总值到达95933亿元，比上年增长7.3%,如果十五”期间(2001年2005年)每年的国生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五末我国国年生产总值约为亿元.三、解答题5 .伐*)数列4满足条件：a1=1,a=r(r0),且ana+1是公比为q(q0)的等比数列，设bn=c2n1+a2n(n=1,2,-).(1)求出使不等式ar)an+1+a*i+1an+2
10、an+2an+3(nen)成立的q的取值围；1(2)求bn和lim,其中Sn=b+卜+bn；nSn(3)设r=219.21,q=-,求数列log2bn1的最大项和最小项的值.2log2bn6 .(*)某公司全年的利润为b元，其中一局部作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩土不一样)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金b元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并n将最后剩余局部作为公司开展基金.(1)设a(1wkwn)为第k位职工所得奖金金额，试求并用k、n和b表示a(不必证明)；(2)证明a&+1(k=1,2,n1),并解释此不
11、等式关于分配原那么的实际意义；(3)开展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b,当n变化时，求limPn(b).n7 .()据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾到达7.4X108吨，占地562.4平方公里，假设环保部门每年回收或处理1吨旧物资，那么相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，方案以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(准确到万吨)?(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？&.()点的序列An(xn,0),nCN,其中X
12、1=0,X2=a(a0)A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点,，An是线段AnKn1的中点，.(1)写出xn与Xn1、Xn2之间关系式(n3);(2)设an=xn+1-xn,计算加电生，由此推测数列an的通项公式，并加以证明；求limxn.n参考答案难点磁场-t2ct2,一一解：(1)设f(x)=a(x-)-,由f(1)=0得a=1.，f(x)=x2-(t+2)x+t+1.(2潸f(x)=(x1)x(t+1)代入得：anbn 1(t 1)an bn(x-1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的xCR都成立，取x=1和x=t+1分另1J代入上式得：一一1t1且
13、tw0,解得an=-(t+1)n1,bn=1(t+1n)(t1)n1tt(3)由于圆的方程为(x-an)2+(ybn)2=rn2,又由(2)知&+bn=1,故圆的圆心On在直线x+y=1上，又圆与圆+1相切，故有rn+rn+1=J2Ian+1-anI=M2(t+1)n+1设rn的公比为q,那么一r.得q=t+1 ,代入得 rnrnrnq2(t1)n1rn1rnq2(t1)n22(t1)n1t22 , 2n-Sn=j+122+鬲=r1 (q一q 11)2 (t 1)4t(t 2)3(t+1)2n 1歼灭难点训练、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由 | X1-X2 I =
14、,得 dn=1 n(n一，d1+d2+ - +dn1)111 2 2 3lim (d1d2n答案：A11.11n n 1 n 1.OROP2 6 8 14,0Pl2 2,|OP2| 5,OPOP2cosROP2 ：-|OP1110P2|147 252210 sinP1OP22101.1111n(n1)2231dn)lim(1)1nn1二、2.解析：由1X1,X2,4依次成等差数列得：2治二用+1？1+此=5解得x1二2,X2=3.又由1,y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8，解得y1二2,y2=4,.P1(2,2)P2(3,4).-.Op(2,2),OP2=(3,4)5 i2 1c1SOP1P22|OP|OP?|sinP1OP2m b、b a(1 )a(1 - - )a- b ,
