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1、远中学2017-2018学年度第一学期第二次月考阶段测试高二数学试题本试卷满分160分，考试时间120分钟。填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分。答案写在答题卡相应位置）1. 抛物线的准线方程为：_。【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为2. 已知椭圆的离心率_。【答案】【解析】已知椭圆， 故答案为：。3. 函数，则的导函数_。【答案】【解析】根据余弦函数的求导法则和指数函数的求导法则得到。故答案为：。4. 设为虚数单位，为实数），则_。【答案】【解析】由题干知道 根据复数相等的概念得到 故
2、答案为：2.5. 已知双曲线（0）的一条渐近线为，则_。【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，,则考点：本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数. 6. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_。【答案】【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。故得到 故得到椭圆方程为：。故答案为：。7. 函数的最大值是_。【答案】【解析】f（x）=，f（x）=，令f（x）=0得x=e当x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上为增函数，当x（e，+）时，f（x）0，则在（e，+）上为减函
3、数，fmax（x）=f（e）=故答案为：。8. 已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点若AF1B的周长为，则C的标准方程为_。【答案】【解析】根据题意，因为AF1B的周长为4，所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆C的方程为 9. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是_。【答案】【解析】试题分析：在上上是单调减函数，设，则.考点：导数的应用，一元二次方程的根的分布.10. 椭圆的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另
4、两条边，则椭圆的离心率为_。【答案】【解析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，由题设条件知AF1=AB=BF2=c，F1AF2=90， 故答案为：点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；将几何图形的特点和圆锥曲线联系到一起。求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。11. 曲线在点处的切线方程为_。【答案】【解析】根据题意得到：另x=1得到 再另x=0得到故得到，求导得到 将点代入方程可得结果。由上述条件得到方程为：。故答案为：。12. 已知 则 _。【答案】【解析】 由题意
5、得，根据上述等式 的计算规律，利用归纳推理可知，所以第个式子中，所以.13. 已知圆上任一点处的切线方程为类比上述结论有：椭圆上任一点处切线方程为：_。【答案】【解析】类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：用代x2，用代y2，即可得过椭圆上一点的切线方程为故答案为：.14. 已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围是_。【答案】【解析】对任意ba2，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x2），则h（b）h（a）h（x）在（2，+）上单调递减；h（x）=在（2，+）上恒成立，mx2+x（x2），m；m的取值范围是-2，+）故答案为：。二、解答题（本大题共
6、8小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （1）若都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立。（2）求证：【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可。解析：（1）假设2和2都不成立，即2和2同时成立 x0且y0，1+x2y，且1+y2x 两式相加得2+x+y2x+2y，x+y2这与已知条件x+y2矛盾，2和2中至少有一个成立 （2）原式子等价于2，两边平方得到 ，得证。16. 已知椭圆C的方程为；（1）
7、求k的取值范围； （2）若椭圆C的离心率，求的值。【答案】（1）k（1，5）（5，9）（2）2或8【解析】试题分析：（1）根据椭圆的方程的定义得到解出这个不等式即可；（2）要分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况，结合求解即可。解析：（1）方程表示椭圆，则 （2）当9kk1时，依题意可知a= ，b= c= 当9kk1时，依题意可知b=，a=。c=k=8；k的值为2或8 17. 已知函数，（1）当时，求函数的极值；（2）求函数的单调区间。【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究函数的单调性，根据单调性和极值的定义的到结果即可；（2）对函数求导，分和两种情况下讨论函数的单调性进
8、而得到函数的单调区间。解析：（1） （2） ， 当，：；，。18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式：为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出商品11千克.（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，问，销售价格为多少时，利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）a=2 （2）x=4时取最大值42【解析】试题分析：（1）根据题意得到当销售价格为5元/千克时，每日可售出商品11千克，x=5时，y=11，代入方程即可。（2）根据题意得到利润的表达式，研究这个函数的单调性求得最值即可。解析：（1）依题意， ，解得a=2。（
9、2）求导可得： 比较 可得 .19. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且过点（1）求椭圆的标准方程； 若P是椭圆上一点且在x轴上方，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，求p点坐标。【答案】（1）（2）.解析：（1）由题意焦点坐标为 设则，解得 所以； （2）若为直角顶点，则 若为直角顶点，则 若为直角顶点，则，PF1+PF2=4，PF1PF2=2， = ，故 点睛：这个题目考查了椭圆方程的求法，以及点在椭圆上的应用，焦三角形的面积的表示方式。求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用。和焦三角形相关可以想到面积公式，定义应用，周长为定值，等。20. 已知函数在处的切
10、线方程为（1）求的解析式；（2）若对任意的均有求实数k的取值范围；（3）设为两个正数，求证：【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，得到进而求出解析式；（2）研究函数的单调性，使得函数的最小值大于0即可；（3）当时，和两种情况；构造函数证得，将式子化简即可。解析：（1）由得，由题意：，解得，所以 （2）令，则，令得，当时，在上单调递减；当时，在 上单调递增， 所以的最小值为，由题意知，解得，故实数的取值范围是 （3）当时，结论显然成立，否则不妨设，设则当时，在上为减函数；当时，在上为增函数.从而当时，即得，化简得， 故 点睛：点睛：本题考查了函数的单调性和最
11、值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。21. 设数列满足.（1）求 ；（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）由已知等式：令n=1，再将代入即可求得的值；再令n=2并将的值就可求得的值；最后再令n=2并将的值就可求得的值；（2）由已知及（1）的结果，可猜想出的一个通项公式；用数学归纳法证明时应注意格式：验证时猜想正确；作归纳假设：假设当时，猜想成立，
12、在此基础上来证明时猜想也成立，注意在此证明过程中要充分利用已知条件找出之间的关系，并一定要用到假设当时的结论；最后一定要下结论试题解析： （1）由条件，依次得， 6分（2）由（1），猜想. 7分下用数学归纳法证明之：当时，猜想成立； 8分假设当时，猜想成立，即有， 9分则当时，有，即当时猜想也成立， 13分综合知，数列通项公式为. 14分考点：数列的概念；归纳猜想；数学归纳法22. 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，CC15，E是棱CC1上不同于端点的点，且 （1） 当BEA1为钝角时，求实数的取值范围；（2） 若，记二面角B1A1BE的的大小为，求|cos|【答案】
13、（1） （2） 【解析】试题解析：解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)因为，所以E(0，3，5)从而(2，0，5)，(2，3，55) 2分当BEA1为钝角时，cosBEA10，所以0，即225(55)0，解得即实数的取值范围是(，) 5分（2）当时，(2，0，2)，(2，3，3)设平面BEA1的一个法向量为n1(x，y，z)，由得取x1，得y，z1，所以平面BEA1的一个法向量为n1(1，1) 7分易知，平面BA1B1的一个法向量为n2(1，0，0)因为cos，从而|cos| 10分考点：利用空间向量求夹角，利用空间向量求二面角6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
