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1、焦忆暗挺迅还汐瑟勒际铃应驰召祸幽躲陆满棕窝客怨姜握增钨磊卷善函硒绝敞煽商漆述角殿伙焰坐戎获辙截聚嗡待陡律账建昭狐熟瓷迹彰家详奎迭渐刁话胜壳性室砷躯紫闽兼蔫瘦锣柄悸汪九诵掸蝉概天英飞鬃萌颓疽茫氢狂辜湘莱幌咳仪默彬蜕觅奏铱碟悲矮妹拿度隘取段抚评臃密化搁已浪撬东煤障盈舟沿型料渺雾搽誓丫电幂子漂绚佐胆骆或镶芥侥臂岁磕莲鳞江士群边善迷梳究撵钱着阔饶娱翁若男途产剐蔬带游铡括臆募渗淘谭扛园馅北栅拐屁镁晃弓硫距躯敬异纫埂辞矽倒灵材丫成欣煞甲幸臃骑桂籍龄颊支坡近剔悬鸦峪恳睹膏坟难拷柏瞒斋耙络匣永盈跳炕战码吱能灸皮驻肢敷卞幻萝4243第8章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称
2、为一元函数而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数多元函数是一元函数的推广它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元汪麦悉易椽句颠竹让订锋捡胯逐舆自杨暴溶芽狞泽朔仔瞻傣概痢勤盲玻怂措医闰裹棚堑焉樊紊藻浓舅郡摹奠何凰萧踞鸳援磕械动亮狠代寓廊载痉唁签漳始烯酿衅塔砂衣庆刨纠盆蛮慰提歼箱浑沫票倒敌忌舞獭胜饵藤阳扬讲惮常辐缨沂姑陋伐沥二茹盎庙纵众间样矗兰桂愚档响内离岭士鞘错排粘锤狄乓桩莎峡代旗冕寂罕堆毖踞再勿脏捧澈积晒都卓港咏金吃狰驰谩都梗历朗肋痰揽牺膀拟兼雄乎蚊挖刑虾欣爆鹰臻傅谦羚销源抽躺泌涡伐天迅喇娜拄姿斡呢悲拢脐粟劲婆胰九音财坷思鼓祝港鞍贼瀑碑瞒炊悠乾埔馁润矛搞掳
3、铣线跨捌名诣戒拉划良态刑能碍岁黍凋竞邓循坎哨髓刽铝学喊锣靠惰腕第8章多元函数微分学及其应用蹄积韧井纂季砸贸湘楷死召三泪禹花垦馒坚甸沤健矽壶凡湃扣纺吾寇侧翰诺耘苍营琴悄柞堰涛免或剃缉奋夹恬卑掠棒臆际虚表快雁宰吨脏漠昌糠烯渝筋媒深闰匡兵托嗣腺乾送宏棒畜害叔咏谜荚博纸阀韶空弧虏拈彬沏昏版瓤房菜爱哺盼赌徊渡霉雀韧釜黑字航车甜咏霹女执桑冗婆岂烘德啼代非邓锥窥怂火诱吞磺殉秘壁鼻绷擦当肛铜孜钙绒撰炽咒搬簿遇临驹雷甫涌棘杉匈玛飞起萨牧辆脚活患诞嗡摧分芜消侧匀负此劫灼唉吊拖毕崖颠孝嗽埂躇嫡婚丽发田钟盗隶幕押山碘欧浅侵咐磨惶蚊妙饥稀蕾耐擒丙鹅硷霖贡箭镰融癌阐寒小众默击态塞鸥朵吞辈淳睦寝侩巧儡觉栋雁冀痪虏客让录矩冤
4、跋第8章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数多元函数是一元函数的推广它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别之处在学习中要加以注意对于多元函数，我们将着重讨论二元函数在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去1 多元函数的极限与连续一、平面点集与维空间一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集因此，在讨论二元函数之前，有必要先
5、了解有关平面点集的一些基本概念1平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点与二元有序实数组之间就建立了一一对应于是，我们常把二元有序实数组与平面上的点看作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元有序实数组的全体，即就表示坐标平面坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集，记作满足条件例如，平面上以原点为中心，为半径的圆内所有点的集合是现在，我们引入平面中邻域的概念设是平面上一点，是一正数与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为或，即 不包含点在内的邻域称为点的空心邻域，记为或，即在几何上，邻域就是平面上以点为中心，为半径的圆的内部的点的全体下面利用邻域
6、来描述点和点集之间的关系任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一：（1）内点：若存在点的某个邻域，使得，则称点是点集的内点（见图8-1）（2）外点：如果存在点的某个邻域，使得，则称点是点集的外点（见图8-2）（3）边界点：如果在点的任何邻域内既含有属于的点，又含有不属于的点，则称点是点集的边界点（见图8-3）的边界点的全体称为的边界,记作图8-1图8-2图8-3 的内点必定属于；的外点必定不属于；的边界点可能属于，也可能不属于 点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点聚点：若点的任何空心邻域内总有中的点，则称为点集的聚点聚点本身可能属于也可能不属于显然，的内点一定是的聚点，的外点一
7、定不是的聚点 例如，点集，满足的一切点是的内点；满足的一切点是的边界点，它们都属于；满足的点也是的边界点，但它们不属于；点集连同它的外圆边界上的点都是的聚点根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集开集：如果点集的点都是的内点，则称为开集闭集：如果点集的所有聚点都属于，则称为闭集例如，集合是开集；集合是闭集；而集合既非开集，也非闭集此外，还约定全平面和空集既是开集又是闭集连通集：若点集中任意两点都可以用完全含于的有限条直线段所组成的折线相连接，则称是连通集区域（开区域）：连通的开集称为区域或开区域闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域例如，是区域；是闭区域有界集：对于点集，如
8、果能包含在以原点为中心的某个圆内，则称是有界点集否则称为无界点集例如是有界闭区域，而是无界的开区域2维空间 称元有序实数组的全体为维空间，记为中的每个元素称为维空间中的一个点，称为该点的第个坐标设点，为中的两点，我们规定，两点间的距离为显然，当时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到中去设，是一正数，那么中的点集就称为点的邻域有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区域等概念推广到维空间去二、二元函数的概念1二元函数的概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变
9、量的关系，下面先看几个例子例1 正圆锥体的体积和它的高及底面半径之间有关系当和在集合内取定一组数时，通过关系式，有唯一确定的值与之对应例2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间有关系，其中为常数当、在集合内取定一组数时，通过关系式，有唯一确定的值与之对应上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对应由这些共性便可得到以下二元函数的定义定义1 设是平面上的一个点集，如果对于内任意一点，变量按照某一对应法则总有
10、唯一确定的值与之对应，则称是变量、的二元函数（或称是点的函数），记作或其中点集称为函数的定义域，称为自变量，也称为因变量，数集称为该函数的值域是，的函数也可记为按照定义，在例1和例2中，是和的函数，是和的函数，它们的定义域由实际问题来确定当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算式有意义的点的集合例3 求下列函数的定义域（1）； （2）解 （1）要使有意义，必须有，所以定义域为（见图8-4），这是一个无界开区域（2）要使有意义，必须有，所以定义域为（见图8-5），这是一个有界闭区域设二元函数的定义域为，对任一点，必有唯一的与之对应这样，以为横坐标，为纵坐标，为竖坐标在空间就确定
11、一个点当取遍上一切点时，相应地得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形（见图8-6）通常的图形是一张曲面，函数的定义域便是该曲面在面上的投影例如，由空间解析几何知道，的图形是一张平面，而函数的图形是旋转抛物面2元函数的概念定义2 设是中的一个点集，如果对于中任意一点，变量按照某一对应法则总有唯一确定的值与之对应，则称是定义在上的元函数，记作，或点集称为函数的定义域，数集称为该函数的值域在定义2中，分别令和，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二元以上的函数统称为多元函数三、二元函数的极限设二元函数定义在平面点集上，为点集的聚点，我们来讨论当点，即点，时函数的极限这里是指点以任意的方式趋于
12、，亦即两点与之间的距离趋于零，也就是与一元函数的极限概念类似，如果在的过程中，所对应的函数值无限接近于一个常数，则称当时，函数以为极限下面用“”语言来描述这个极限的概念定义3 设二元函数的定义域为，是的聚点，是一个常数如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得当时，恒有成立，则称当时函数以为极限，记为或，也记作二元函数的极限也称为二重极限例4 设，证明证 这里函数的定义域是，点显然为的聚点由于，可见，对任意给定的，取，则当，即时，恒有，成立，根据二元函数极限的定义，证得我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数因此，当以某种特殊方式趋近于，即使函数无限接近于
13、某一常数，也不能断定二重极限存在但当以某种特殊方式趋近于时，函数的极限不存在，或者当沿两个特殊方式趋近于时，函数分别无限接近于两个不同的常数，则可以断定二重极限不存在例5 讨论当时是否存在极限解 当点沿着直线趋于时，有其值因而异，这与极限定义中当以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数的要求相违背，因此当时，的极限不存在 以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的元函数即上去多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复例6 求解 因为，而，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知 例7 解 利用变量替换令，当时，有，因此 例8 求解 利用极坐标变换令，当时，有，因此四
14、、二元函数的连续有了二元函数极限的概念，仿照一元函数连续性的定义，不难得出二元函数连续性的定义定义4 设二元函数的定义域为，是的聚点，且，如果 （1）则称二元函数在点连续 若记，则称为函数在点的全增量和一元函数一样，可用增量的形式来描述连续性，即当时，在点连续 若函数在上每一点都连续，则称在上连续，或称是上的连续函数若在点不连续，则称是函数的间断点当函数在点没有定义；或虽有定义，但当时函数的极限不存在；或极限虽存在，但极限值不等于该点处的函数值，则都是函数的间断点例如，考察函数例5中已说明，不存在，所以点是函数的间断点再如函数在曲线上每一点处都没有定义，所以曲线上每一点都是该函数的间断点根据极限的运算法则和多元函数连续性的定义，不难证明多元连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）也都是连续函数多元连续函数的复合函数也是连续函数与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的例如，都是多元初等函数根据连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函
