因子分析和时间序列分析

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1、第十二章 因子分析因子分析是一种在许多变量中提取出隐藏的具有代表性的共性因子、构造因 子模型的统计技术。因子分析模型设m个可能存在相关关系的观测变量Z,z2,zm（经过标准化后）含有p个 独立的公共因子片耳,.,Fp（mNp）,观测变量z含有独特因子Ui（i=l.m）,诸 q间互不相关，且与Fj（j=i.p）也互不相关，每个z可由p个公共因子和自身对 应的独特因子q线性表出：Z = a F + a F Hb a F + c U11111221 p p11Z = a F + a F bba F + c U 221 122 22 p p 2 2（模型 1）=a F + a F bb a F + c

2、 Um11m 22mp pm m(Z )(F )(cU )111 1ZFc U2= ( a).2b2 2:imx p:Z丿F ”丿 c U丿m p m m简记为Z = A - F + CU（模型2）（mx1）（mxp） （px1）（mx1）A称为因子负荷矩阵（即模型1中各方程的系数ajj的矩阵），ajj表示第i个变 量zj在第j个公共因子F.上的负荷，简称因子负荷。因子负荷反映了某一变量与 某个因子的相关关系。每一个因子也可以表示各观测变量的线性组合：Fj=WjiZi+ Wj2%+ Wj3Z3+.+ W jmZmwj1:权重或因子得分系数，用于计算因子得分。因子分析步骤：一、形成问题二、基于原

3、始数据构造相关矩阵Correlation MatrixV1V2V3V4V5V6Correlation VI1.000-.053.873-.086-.858.004V2-.0531.000-.155.572.020.640V3.873-.1551.000-.248-.778-.018V4-.086.572-.2481.000-.007.640V5-.858.020-.778-.0071.000-.136V6.004.640-.018.640-.1361.000KMO and Bartletts TestKaiser-Meyer-Olk in Measure of Sampli ng Adequa

4、cy.660Bartletts Test ofApprox. Chi-Square111.314Sphericitydf15Sig.000三、确定因子分析方法主成分分析法(Principal components analysis简称PCA)和主因子分析法 (Principal factor analysis 简称 PFA, 也称 common factor analysis)。主成分解释了变量的总方差，主因子解释了协方差。当主要目的是要减少变 量时,采用主成分分析；当为了寻找对协方差有贡献的潜在因子时,采用主因子 分析。常用主成分分析法。四、提取因子提取因子原则：按照能够解释方差的大小逐序提

5、取因子。 所有公因子(与其他变量所共有)能够解释某个变量方差的比例称为公因子 方差(communality),记作h2。公因子方差反映了各个因子对该变量的解释程度。 某变量的 h2 越大，说明这些因子对该变量的解释程度越强，用这些因子来描述 该变量就越有效。CommunalitiesIn itialExtractio nV11.000.926V21.000.723V31.000.894V41.000.739V51.000.878V61.000.790Extracti on Method: Pri ncipal Comp onent An alysis.因子的特征值揭示了各个因子能够解释总方差的

6、多少，反映了因子的重要程 度，可作为提取因子的依据。Total Variance ExplainedComponen tInitial EigenvaluesTotal% of VarianceCumulative %12.73145.52045.52022.21B36.96982.48B3.4427.36089.84843斗15,68895,5365.1S33.0448.50068.521E-021.420100.000Extraction Method; Principal 匚omponent Analysis.五、确定因子的数量 方法一：依据经验知识确定。 方法二：选择特征值大于 1 的

7、因子。方法三：scree检验，即将各因子的特征值用折线图表示出来，寻找平滑递 减的特征值在图的右边停止不前的位置。六、旋转因子 若确定两个因子，得出因子/成分矩阵图如下，展示了两个因子与 6 个变量 之间的相关关系，即因子负荷，体现了因子对变量的解释作用。但是，由于公因 子是从多个变量中提取出来的，很有可能出现很多变量甚至所有变量在一个因子 上的负荷都较大的情形，从而难以将变量归类和解释因子。故此，将因子矩阵进 行正交旋转，采用方差最大正交旋转法，使得每个因子只和少数变量之间显著相 关，或者每个变量都只和个别因子（最好是一个）强相关。旋转不会影响公因子 方差，但每一个因子能够解释的方差会发生变

8、化，从而使得因子负荷发生变化。Component Matrix aComp onent12VI.928.253V2-.301.795V3.936.131V4-.342.789V5-.869-.351V6-.177.871Extracti on Method: Pri ncipal Comp onent An alysis.a. 2 components extracted.Rotated Component MatriWComp onent12V1.962-2.66E-02V2-5.72E-02.848V3.934-.146V4-9.83E-02.854V5-.933-8.40E-02V68.

9、337E-02.885Extracti on Method: Pri ncipal Comp onent An alysis.Rotation Method: Varimax with Kaiser Norm alization.a. Rotati on con verged in 3 iterati ons.六、解释因子 基于旋转后的因子矩阵进行解释。变量1、3、5和因子1相关，变量2、4、6和因子2相关。七、计算因子得分 可根据研究需要计算因子得分：即每一个样本在每一个因子上的得分。计算方法：对于每个样本，用其各个标准化变量值乘以相应的因子得分系数Wij,再加总。Component Sco

10、re Coefficient MatrixComp onent12V1.358.011V2-.001.375V3.345-.043V4-.017.377V5-.350-.059V6.052.395Extract ion Method: Pri ncipal Comp onent An alysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Norm alization. Comp onent Scores.n unber JV5raci irac2 iwarvar1136241 90-.29679221354-1 1S28-33S2133E7斗131.2792

11、2-斗斗454625277661106785&123E2-I 40756-H8T16eE36斗2斗.96403-302237753t3出3390B9-92T5T88E47414131 他=i：r|36993423E3-1 01060H1010262676-1 3D1B51&39D21111R43231 10561-.607831：21223145414 羽 1 312941313726日131 2229-&22S9U4645361-J23S1 358121515132264-1 32IBS-.918771616646334791J6-33446171753C334.611E3-.6129718

12、ie73441 49635-.286591919243363-1.02367-.67M020.I.:31.d-1011 : ：!：2121323531.18766倔了加222254A24.61431-013772-21:44-四2444S47-.010081.884912525654214.83420-.33195八、模型评估 即评估模型的拟合程度。因子分析的原假设：变量之间的相关关系可以由一 个共同的因子来描述，即变量间的相关程度可以转化为变量与因子间的相关程度 /可由变量与因子间的相关关系来反映变量间关系。把通过变量与因子的关系反 映出的变量间关系称为再生相关系数，初始的变量间相关系数与再生相关系数之 间的差异反映了模型的拟合效果。Reproduced CorrelationsV1V2V3V4V5V6Reproduced Correlatio