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1、目 录代数部分第一讲 乘法公式课外阅读关于杨辉三角第二讲 因式分解课外阅读数学史上的三次危机(上) 12第三讲 二次根式1课外阅读数学史上的三次危机(下) 18第四讲 方程组和同解方程19第五讲 一元二次方程根与系数的关系.26课外阅读 法国数学家韦达简介32第六讲 不等式与不等式组33课外阅读 数学家陈省身简介38第七讲 函数基础.39第八讲 函数图象的变换45第九讲 三角函数初步51第十讲 从黄金分割到斐波纳契（费氏）数列57课外阅读 两个有趣的数列 61几何部分第十一讲：平行线分线段成比例定理.62课外阅读 古希腊三大几何问题 67第十二讲：三角形中有关性质补充.68 课外阅读 梅涅劳斯
2、定理与塞瓦定理.73第十三讲：圆的有关知识补充.74课外阅读 奇妙的圆形79第十四讲：轨迹与尺规作图.80课外阅读 蝴蝶定理83思想方法部分第十五讲 换元法85课外阅读 哥德巴赫猜想88第十六讲 分类讨论法89课外阅读 帕普斯定理和帕斯卡定理96第十七讲 数形结合思想与方法97课外阅读 笛卡尔与坐标学（上） 104第十八讲 转化与化归思想 105课外阅读 笛卡尔与坐标学（下）109第十九讲 其他（配方法,反证法,构造法简介）111结束语:数学学习中的直觉思维和逻辑思维 117答案:代数部分121几何部分127思想方法部分127第一讲 乘法公式初中阶段我们已经学习了整式及其运算,我们会用乘法公式
3、对多项式进行乘法和因式分解事实上，乘法公式还有很多，就看我们是否需要用这些公式在今后的学习中，我们会遇到比原来更复杂的代数式的运算问题所以本讲将带给大家一些新的公式，让大家能够通过学习提高运用乘法公式的能力我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过整式乘法运算得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和的平方公式 ；（4）两数和的立方公式 ；（5）两数差的立方公式 注意: 对上面列出的五个公式，我们可以通过乘法分配律，合并同类项等方法得出一公式推导：例 求证证明=试一试1求证二乘法公式基本应用例2 计算：（1）
4、（2）解 （1）= （2）= =例3 计算：解法一 原式= = =解法二 原式= = =试一试2 (1).计算 = = = (2)计算 三 乘法公式复杂应用：例4 已知，求的值解 例5 设a,b,c为三角形的三条边，已知求证：此三角形为等边三角形分析 此问题就是要想办法说明a=b=c在一个已知等式中，要说明a=b=c一般采用由可得到的方法，这样就自然想到要用乘法公式的逆向运用，也就是拼凑完全平方的方法解 同时成立, 又a,b,c为三角形的三条边，即a0,b0,c0同时成立, 因此此三角形为等边三角形试一试3已知a+b=3,ab=8,求下列各式的值 说明：灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用
5、的解题技巧例6 若，求的值分析:本题若从条件中求出a的值，再代入求值，则计算会较烦琐我们设想如果把条件变形，根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算 解： 原式=试一试4 已知ab=1, 求的值.四 乘法公式的推广 （1） 的推广 由,，猜想： ( )=; ( )= ; ( )= ;特别地，当时， ( )= 从而导出等比数列的求和公式 （2）多项式的平方由 ，推出=( ) ； =( ) 猜想： =( ) 当其中出现负号时如何处理？ （3）二项式 的展开式 （参照阅读材料）注意事项： 一个二项式的n次方展开有n+1项； 字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n； 各
6、项系数的变化规律由杨辉三角形给出 1填空： （1）=_； （2）_; (3 ) =_.2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论为何实数， 的值 （ ）（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数3化简：（1） （2）4计算：5已知,求的值.6已知，求的值 7设为四边形的四边长且，试判别此四边形的形状8试写出的展开式 关于杨辉三角简单的说一下就是两个未知数和的幂 运算后的系数问题，比如，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，分别展开，看看各项的系数，你就明白其中的道理了,这就是杨辉三角，也叫贾宪三角他与我
7、们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律如图，在贾宪三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方展开式的三个系数，第4行的四个数恰好对应着两数和的立方展开式的四个系数，依此类推。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和其实中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它是把一
8、个多项式化为几个整式的积的形式,它与整式乘法是两个互逆的变形过程. 因式分解是分式通分和约分的必要知识,更是解一元二次方程、分式方程、无理方程、特殊的高次方程的基础.因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法在初中阶段我们已经学习了提取公因式法、公式法来分解因式.在分解因式时应注意以下二点：1. 分解因式的一步骤(1)首先提取公因式；(2)接着尝试运用公式分解；(3)如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解.2. 每个因式都要分解到不能再分解为止.一十字相乘法1型的因式分解在初中我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二
9、次三项式的因式分解,这类式子的特点是：二次项系数为1,常数项是两个因数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和.因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式例1把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同试一试1: 把下列各式因式分解：(1) (2) 2一般二次三项式型的因式分解对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？下面我们就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解.例2 把分解因式.分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.分解二次项系数（只取正因数）：2=12=21；分解常数项：3=13=31=（-3）（-1）=（-1）（-3）.用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 3 2 1 2 -3 2 -121+13=5 23+11=7 2(-1) +1(-3)=-5
