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1、第二章点、直线、平面之间的位置关系复习测试题（二） 三、解答题11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是四棱锥的高，是的中点，已知，求：四棱锥的体积；异面直线与所成的角的大小.考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法.答案：，.解析：根据题意四棱锥的体积.取PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角AEF中，.在AEF中，AE=2，AEF是等腰直角三角形，AEF=，异面直线BC与AE所成的角大小为.12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知，O的直径AB=2，点C在上，且，D为AC的中点.证明：AC平面P
2、OD；求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力.答案：略，.解析：OA=OC，D是AC的中点，ACOD.又PO底面O，底面O，ACOD.PO是平面POD内的两条相交直线，AC平面POD.由知，AC平面POD.又，平面POD平面PAC.在平面POD中，过O作OHPD于点H，则OH平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.13.(2010陕西文)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，P
3、C的中点. 证明：EF平面PAD； 求三棱锥EABC的体积V.考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算.答案：略；.解析：在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD，EFAD，AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G，则BG平面ABCD，且.在PAB中，AD=AB，BP=2，.，.14.(2010四川理)已知正方体的棱长为1，点M是棱的中点，点O是对角线的中点.求证：OM为异面直线和的公垂线；求二面角的正切值.考查目的：考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，空间想象能力和逻辑推理能力.
4、答案：略；.解析：连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK.M是棱的中点，点O是的中点，.由AK，得MO.AKBD，AK，AK平面，AK，MO.又OM与异面直线和都相交，OM为异面直线和的公垂线.取中点N，连结MN，则MN平面.过点N作NH于H，连结MH，则由三垂线定理得MH，从而，MHN为二面角的平面角.MN=1，.在RtMNH中，二面角的正切值大小为.15.(2012湖南理)如图，在四棱锥中，平面，是的中点. 证明：CD平面PAE；若直线与平面成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线和平面所成角的运用，体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力.答案：略；.解析：连接，由，得.又，是的中点，.，.而是平面内的两条相交直线，平面.过点作，分别与相交于，连接.由平面知，平面，为直线与平面所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.，.由题意知，.，.由知，ADBC. 又BGCD，四边形是平行四边形，.在中，于是.又梯形的面积为，四棱锥的体积为.4
