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1、导数压轴题题型1. 高考命题回顾例1已知函数f(x)exln(xm)（2013全国新课标卷）(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.(1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定义域为x|x1，f(x)ex，显然f(x)在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增(2)证明g(x)exln(x2)，则g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0，所以h(x)是增函数，h(x)0至多只有一个实数根，又g()0，所以h(x)g(x)0的唯一实根在区间内，设g(x)0的根为t，则有g(t)et0，所以，ett2e
2、t，当x(2，t)时，g(x)g(t)0，g(x)单调递增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t0，当m2时，有ln(xm)ln(x2)， 所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2已知函数满足（2012全国新课标）(1)求的解析式及单调区间；(2)若，求的最大值。（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为（2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为例3已知函数，曲线在点处的切线方程为。（2011全国新课标）（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。解（） 由
3、于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，h(x)递减。而 故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x （1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0时恒成立，求正整数k的最大值.例14（创新题型）设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若x=0是F(x)的极值点,求a的值；()当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x
4、 2)(x10,x20), 且PQ(1)若, 函数 在其定义域是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.例18（全综合应用）已知函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;(3)在(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.导数与三角函数综合例19（换
5、元替代，消除三角）设函数（），其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求函数的极大值和极小值；（）当， 时，若不等式对任意的恒成立,求的值。创新问题积累例20已知函数. I、求的极值. II、求证的图象是中心对称图形.III、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由导数压轴题题型归纳 参考答案例1解：(1)时，由，解得. 的变化情况如下表：01-0+0极小值0所以当时，有最小值.(2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令，得， ，即. 又， 所以.例2，令当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时，
6、恒成立，此时，函数单调递减；当时，,时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减；当时,函数在递减,递增,递减.当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.例3解：根据题意，得即解得 所以 令，即得12+增极大值减极小值增2因为，所以当时，则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以所以的最小值为4因为点不在曲线上，所以可设切点为则因为，所以切线的斜率为则=，即因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解所以函数有三个不同的零点则令，则或
