《三角形重心性质定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形重心性质定理（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其 中的某些项配成一个或几个多项式正整数次暮的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方 法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等 方面都经常用到它。2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积 的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一 种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式 分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分
2、组 分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待 定系数等等。3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解 题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比 较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的 式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c C R, a0）根的判别式 =b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至解析几 何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根
3、；已知两个数 的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二 次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等， 都有非常广泛的应用。5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种 确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待 定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某 种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学 数学中常用的重要方法之一。6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件 和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、个等式、一个函数、一个等价命题等，架起
4、一座连接条件和结论的桥梁, 从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构 造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于 问题的解决。7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分 为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一 种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬;（3）结论反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是 /不是；
5、存在/不存在；平行于/ 不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于； 都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n 1）个; 至多有一个/至少有两个；唯一 /至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出 的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、 公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、等（面或体）积法：平面（立体）几何中讲的面积（体积）公式以及 由面积（体积）公式推出的与面积（体积）计算有关的性质定理，不仅可用 于计算面积（体积），而且用它来证明（
6、计算）几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积（体积）关系来证明或计算几何题的方法，称为等 （面 或体）积法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。等（面或体）积法的特点是把已知和未知各量用面积 （体积）公式联系起来，通过运算 达到求证的结果。所以用等（面或体）积法来解几何题，几何元素之间关 系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需 要添置辅助线，也很容易考虑到。9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂 性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元 素到同一集合的元素的一个一一映射。 中学数学中所涉及
7、的变换主要是 初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换 法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数 学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来， 有利于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。10.客观性题的解题方法：选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。 选择题的题型构思精巧，形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容 量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析
8、判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了 具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技 巧。下面通过实例介绍常用方法。(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、 定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题 方法，这种解法叫直接推演法。(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确 答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称 为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题
9、设条件或 结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数 学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判 断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归 纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。湖北省黄石市下陆中学宋毓彬1 .三角形重心性质定理课本原题（人教八年级数学下册习题19.2第16题）在ABC中，BQ CE是边AC AB上的中线，BD与CE
10、相交于 Q BO与OD的长度有什么 关系？ BC边上的中线是否一定过点O?为什么？（提示：作 BO中点 M CO的中点No连接EQ EM MN ND分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习重心）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1 : 2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。证法1:（根据课本上的提示证明）取GA GB中点ML N,连接MN ND DE EM （如图1）B MN GAB的中位线，MN/ AB, MN= AB2又 ED是 ACB的中位线，DE/ AR DE=1 ABDE/ MN
11、 DE=MN四边形 MNDE平行四边形 .GM=GD又 AM=MG则 AG=2GD同理可证：CG=2GF BG=2GE点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。证法2:延长BE至F,使GF=GB连接FCAG是BF的中点，D是BC的中点.GD4BFC的中位线，GD/ FC, GD=2 FC由 GD/ FC, AE=CE 易证4 AE CEF1 . AG=FC 即 GD_ AG点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等， 从而利用全等 三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。证法3:取EC中点M,连DM利
12、用平行线分线段成比例及 E是AC中点可证得相同的结 论。（证明过程略）2.三角形重心性质定理的应用求线段长例1 如图3所示，在RtABC中，/ A=30 ,点D是斜边 AB的中点，当G是RtAABC 的重心，GEL AC于点E,若BC=6cm则GE= cm=解：RtABC中，Z A=30 , BC=6，AB=BC=122D是斜边 AB的中点，CD=2AB=62G是 RtABC的重心，CG=3 CD=4由 CD=AD / A=30 , / GCE=301RtAGCE, / GCE=30 , CG=4，GE=2 CG=2(cm)求面积例2 在4ABC中，中线 AD. BE相交于点 0,若 BOD勺
13、面积等于5,求 ABC的面积。B解：:。是 ABC的重心， .AO： OD=2： 1Sa aob： S-OF2 ： 1 即 Saao=2 S abo=10二 SaabeF S aob+ S30=10+5=15又AD是 ABC的中线Saabc=2 S abi=30。练习：1.如图5, 4ABC中，AD是BC边上的中线,G是重心，如果AG=6那么线段DG=。2.如图6,在 ABC中，G是重心，点 D是BC的中点，若 ABC的面积为6cR,则 CGD 的面积为。倍角三角形中的一个结论湖北省黄石市下陆中学宋毓彬例1 (天津市中考题)在ABC中，/A、/B、/C所对应的边分别用a、b、c表示。如图 1,
14、在 ABC中，/ A=2/B,且/ A=60 。求证：a2=b (b+c)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为 “倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角ABC如图2, / A=2/ B,关系式a2=b (b+c)是否仍然成立？并证明你的结论。图1图2分析：在 ABC43, / A=2/ B,且 / A=60 , ABC为 RtA, / C=90 。. 1证法 1: RtACB中 a= 2 c, b= 2 c,J3 3 a113 2c一 一一c所以 a2=(2c)2= 4,b(b+c)= 2 c ( 2c+c)= 4,所以 a2
15、=b (b+c)。对于任意的倍角 ABC /A=2/B,关系式a2=b (b+c)仍然成立。 如图2,延长 BA至D,使AD=AC=b连CD贝叱 CAB=2 D,，/B=/ D, BC=CD=aAD _ CD b_ a由AD/ CDB CD 必，即曲 。所以 a2=b (b+c)。由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。(例2中另外两种证法同样可证得a2=b (b+c)。)例2(2009年全国初中数学联赛)在 ABC中，最大角/ A是最小角/ C的2倍，且AB=7, AC=& 则 BC=()(A) 7 拒(B) 10 (C) 7105 (D) 7 .J分析：此题由例1中的结论，则 BC2=7 (7+8) =105,所以BC=J105。以下还可以提供几种解法供参考。解法一：分割法。如图1,作/ CAB的平分线 AD交BC于 D图】7
