几何15长方体与正方体

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1、奥数天天练15 长方体和正方体如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱C 在六个面中，两个对面是全等的，即二组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形） 长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S= 2（ab + be + ca）；长方体长方体的体积： V =abc.长方体 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.如果它的棱长为a，那么：S= 6a2，V= a3.正方体正方体板块一 长方体与正方体的表面积例 1】如右图，在一个棱长为10 的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2 的小长方体，那么新的几何 体的表面积

2、是多少？巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去的立体图形的表面积是多少？例 2】如右图，有一个边长是5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2 的长方体，那么它 的表面积减少了多少?巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15 厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正 方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切 下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条 又锯成 5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长

3、方体表面积的和是多少平方米?【巩固】（2008年走美六年级初赛）一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体 表面积的和是cm2.例 3】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些巩固】用10块长5 厘米，宽3 厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是 多少?巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？例 4】（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1 厘米的小正方体， 其中一面都没有红色的小正方形只有3 个，求原来长方体

4、的表面积是多少平方厘米？例 5】有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成 红色的表面积例 6】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底 面面积）超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是例 7】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型把这个模型的表面（包括底面）都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多块.【例8】右图是4x5x6正方体，如果将其表面涂成红

5、色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体 各有多少块？例 9】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4 刀，沿着高边等距离切N次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是.【例10】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方 体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小 值是多少?例 11】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的， 30个为黑色的.现将它们拼成一个4 x 4 x 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平

6、方厘米？例 12】一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个.求原来长方体的体积与表面积.例 13】 将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1 分米的小正方 体在这些小正方体中，6 个面都没有涂红色的有12 块，仅有两个面涂红色的有28 块，仅有一个 面涂红色的有块，原来长方体的体积是立方分米.【例14】 右图是由27块小正方体构成的3x 3 x 3的正方体.如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小 正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方

7、块中，有12个两面是 红的， 6 个一面是红的.这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红 色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍.问：由多少块小正方体构成的正方体，表面 涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点 红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？例 15】 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有 的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的， 有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6

8、个面都是红 色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1 厘米的小正方体.分割完毕后，恰有一面是红色的小正 方体最多有多少个？例 16】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个 连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面涂色后把三个长方 体都切成棱长为1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？例 17】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？例 18】 把正方体的六个表面都划分成9 个

9、相等的正方形用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？巩固】把正方体的六个表面都划分成4 个相等的正方形用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？例 19】 （第九届“迎春杯”决赛）把 1 个棱长是 3 厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数.如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体.巩固】（第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘

10、米的长方体木块.最多可放块.3333例 20】 有甲、乙、丙 3 种大小的正方体木块，棱长比是 1: 2:3 如果用这三种正方体拼成尽量小的一 个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？【例21】用lxlx2、lx 1 x3、lx2x2三种小木块拼成3x3x3的正方体.现有足够多的lx2x2的小木块，还有14块lxlx3的小木块，如果要拼成10个3x3x3的正方体，则最少需要lxlx2的小木块 块.例 22】 把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等.已知这长方体的长为15厘米， 宽为12 厘米，高为9 厘米.分割时要求只能锯两次，如图1 就是一种分割线的图.

11、除这种分割的方 法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2 的各图中.图1图2例 23】 （第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开， 分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3: 4:5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积 比：: : 例 24】 （第三届“华杯赛”复赛）如图从长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？巩固】（第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）现有一张长40 厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只 深是 5 厘米的长方

12、体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是 多少立方厘米?例 25】 一个长、宽、高分别为21厘米、15 厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个 正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的 切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？例 26】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右.那么这个几何体至少用了块木块.巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成 的长方体有多少个？例 27】 有黑白两种颜色的

13、正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不 同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字） 先将写着2的立方体与写着1 的立方体的三个面相邻，再将写着3 的立方体写着2 的立方体相邻（见 左下图）依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?3213231/例 28】 如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视 图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？例 29】 （第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）用一些棱长是

14、 1 的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图a，从正面看这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的 表面积最多是例 30】（2009年“希望杯”二试六年级）用棱长为1 的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体.例 31】（第十届华杯赛）第9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5 月10 日在潮州举行，北京的选手们用N个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004,从左面看是9的模型（如【例32】（日本第七届算术奥林匹克）有很多白色或黑色的棱长是lcm的小正方体.取其中的27 个,拼成一个棱长是3cm的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图.例图 中正方体的每一面的图案都相同,因此,用8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体.除 例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体.问：在下图的中找出可以拼成每面都相同的图案.问：在问中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几 个？例 33】 （2008 年三帆中学考题）一个长、宽、高分别为 12、9 、7 厘米的长方体，在它的每组两两相对 的面的正中央都打一个底面为4 平方厘米的正方形的贯穿洞那么这个长方体剩下部分的体积立方厘米.【