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1、全等三角形辅助线的作法知识精讲一.中点类辅助线作法见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是 在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD是 ABC底边的中线）.E图1图2图3.角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1 .由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2 .过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形;3 . OA OB ,这种对称的图形应用得也较为普遍. 三.截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那
2、条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.点剖析.考点：全等三角形辅助线的作法.重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法三.易错点：1 .辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助 线，关键是如何分析题目；2 .辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少 度”这种辅助线就
3、不一定能作出来.题模精讲题模一：中点类例1.1.1 已知： ABC43, AD是BC边上的中线， AB 8, AC 6 ,试求AD的取值范围.1 AD 7【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等.E -延长AD至E,使得DE AD ,连结CE在abd和cdecd中1. ADB EDC . ABDDzEDECD (SAS)AB CEAE的取值范围为 CE AC AE CE AC2 AE 141 AD 7例1.1.2 如图所示，在 ABC中，AB AC ,延长AB到D ,使BD AB , E为AB的中点，连接CE、 CD ,求证：CD 2EC .AECAFEBCD【答案】见解析【解析】解法一
4、：如图所示，延长 CE到F ,使EF CE ,连接BF.容易证明 EBF色 EAC ,从而BF AC ,而AC AB BD ,故BF BD . 注意至U CBD BAC ACB BAC ABC ,CBF ABC FBA ABC CAB ,故 CBF CBD,而 BC 公用，故 CBF CBD , 因此 CD CF 2CE .解法二：如图所示，取 CD的中点G ,连接BG .因为G是CD的中点，B是AD的中点，11故BG是 DAC的中位线，从而 BG -AC - AB BE ,22由 BG / AC 可得 GBC ACB ABC EBC ,故 BCE 色 BCG , 从而 EC GC , CD
5、2CE .A题模二：角平分线类例1.2.1 如图， A D 180 , BE平分 ABC, CE平分 BCD ,点E在AD上.探讨线段 AB、CD和BC之间的等量关系.探讨线段 BE与CE之间的位置关系.【答案】见解析【解析】AB CD BC ;BE CE ,证明如下：在线段BC上取点F ,使FB AB ,连结EF .在 ABE和 FBE中AB FBABE FBEBE BEABE 色 FBEAEB FEB , BAE BFE A D 180而 BFE CFE 180CDE CFE 在 CDE和 CFE中CDE CFEDCE FCECE CECDE 9 CFEDEC FEC , CD CF AB
6、 CD BC , BEC BEF CEF 90例1.2.2 如图，已知 AB AC, BAC 90 , BD为/ ABC勺平分线，CEL BE求证：BD 2CE .【答案】见解析【解析】延长CE,交BA的延长线于点F.BD 为/ ABC 的平分线，CEXBE,BEFA BEC, BC BF , CE FE . BAC 90 , CEXBE,. ABD ACF ,又 AB AC , ABDA ACF ,BD CF ,BD 2CE .F例1.2.3 已知 MAN 120 , AC平分/ MAN点 B D分别在 AN AM上.(1)如图1,若 ABC ADC 90，请你探索线段 AD AB AC之间
7、的数量关系，并证明之；(2)如图2,若 ABC ADC 180，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不 成立，请说明理由.【解析】（1）关系是：AD AB AC.证明：- AC 平分/ MAN, MAN 120CADCAB60又ADCABC90,ACDACB301 一 ，一 一一，,则AD AB万AC （直角三角形一锐角为 30。，则它所对直角边为斜边一半）AD AB AC ；（2）仍成立.证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F . AC 平分/ MAN CE CF （角平分线上点到角两边距离相等） ABC ADC 180 , ADC CDE 180CDE ABC
8、又 CED CFB 90 , CEDACFB （AAS ） ED FB , AD AB AE ED AF FB AE AF由（1）知 AE AF AC ,AD AB AC .题模三：截长补短类例1.3.1如图所示，ABC是边长为1腰三角形，以D为顶点作一个60的 MDN，点M的正三角形，BDC是顶角为120的等N分别在 AB、AC上，求 AMN的周长.【答案】见解析【解析】 如图所示，延长 AC到E使CE BM .在 BDM 与 CDE 中，因为 BD CD , MBD ECD 90 , BM CE , 所以 BDM 9 CDE，故 MD ED .因为 BDC 120 , MDN 60 ,所以
9、 BDM NDC 60 .又因为 BDM CDE ,所以 MDN 在 MND 与 END 中，DN DN , 所以 MND 省 END ,贝U NE MN ,EDNMDN所以60 .EDN 60AMN的周长为DM DE 2 .例1.3.2阅读下列材料：如图 1,在四边形 ABCD43,已知/ ACB4 BAD=105 , / ABCh ADC=45 .求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，/ CAB=30 , / DAC=75 , / DCA=60 , / ACB吆DAC=180 ,由 求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE AB交BC的延长线于点E,则AB=AE/
10、E=/D.在 ADCW CEA 中，rZD=Z tZDAC=ZECA=75*(AOCA . ADC2 CEA得 CD=AE=AB.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题如图2,在四边形 ABCD43,若/ ACB吆CAD=180 , / B=Z D,请问：CD与AB是否相等？若相等, 请你给出证明；若不相等，请说明理由.【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质.CD与AB相等.证明如下：作AE AB交BC的延长线于点 E, B E BD . DE , ACB DAC 180 , ACB ECA 180 , DAC ECA , 在 ADAC 和 AECA 中D EDAC E
11、CAAC CA ADAC ZECACD AE CD AB .随堂练习随练1.1 如图所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD上.DE CD , EF AC .求证：EF / AB .【答案】见解析【解析】延长AD至ij M ,使DM AD ,连结EM ,利用SAS证明 ADC叁 MDE , .3M,AC EM .又 ACEF,EMEF ,1 M,13, AD 平分BAC ,2 3,12, EF / AB .随练1.2试判断BE已知、CDABC 中，、BC的数A 60 , BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O 量关系，并加以证明.【解析】理由是:
12、BEBC禾I用SAS证得CD 上截取 BEO9BOC90DOE3 1804 1801802 AEODOE 120 ,ADO 180 ,利用AAS证彳导CDO2CFO3CD4,CF ,BC BF CFBE CD .随练1.3如图，在 ABC43, 别是/ BAC / ABC平分线.BAC求证：60 , ACB 40 , P、Q分别在 BC CA,并且 AR BQ分(D BQ CQ ；(2) BQ AQ AB BP.5 PC【答案】见解析【解析】该题考察的是全等三角形.(1) .BQ是 ABC的角平分线， 1 QBC ABC .2 ABC ACB BAC 180 ,且 BAC 60 , ACB A
13、BC 80 , .-1-一 QBC - 80 40 , 2QBC C , BQ CQ ;(2)延长AB至M,使得BM BP ,连结MP. M BPM ,. ABC 中 BAC 60 , C 40 , ABC 80 , BQ 平分 ABC , QBC 40 C , BQ CQ ,ABCMBPM ,MBPM 40 C , AP 平分 BAC , MAP CAP , 在祥MP和CP中，M C MAP CAPAP APAMPA ACP, AM AC , AM AB BM AB BP , AC AQ QC AQ BQ , AB BP AQ BQQ随练 1.4 五边形 ABCDEEK AB AE , BC DE CD , ABC AED 180 ,求证：AD平分/ CDE【答案】见解析【解析】延长DE至F,使得EF BC，连接AC.ABC AED AB AE , BC EF BC , AC BC DE CD ,180 , AEF AED 180 EF ,ABCA AEF.AFCD DE EF DFABC A
