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1、第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: （1）； 解 =2(-4)3+0（1）(1）+118 -013-2（-1)81(4)(1） =-24+8+16-4=4。 （2); 解 =acb+bac+cba-bbbaaaccc =3abca3-b3c3。 (3）; 解 =bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =（a-b)（bc)(c-a)。 （4). 解 =x（x+y)y+yx(x+y）+(x+y）yxy3(x+y)3-x3 =3xy(x+y)y3-3x2 y-x3y3-x3 =2(x3+y3)。 2。 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数： （1)1 2 3 4
2、; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41， 43， 42， 32. （3)3 4 2 1; 解 逆序数为5： 3 2, 3 1, 4 2， 4 1, 2 1. (4）2 4 1 3; 解 逆序数为3： 2 1， 4 1, 4 3。 （5)1 3 （2n1) 2 4 (2n）; 解 逆序数为： 3 2 （1个) 5 2, 5 4（2个） 7 2， 7 4， 7 6(3个) (2n-1)2, (2n1)4, (2n1）6, ， （2n1）(2n2) （n1个) (6）1 3 （2n-1) (2n) （2n2） 2。 解 逆序数为n（n1) : 3 2(1个） 5 2, 5
3、 4 （2个） （2n-1)2, (2n1)4, (2n1)6, ， （2n1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个） 6 2， 6 4(2个） （2n）2， （2n）4， （2n)6, , （2n)(2n-2） (n-1个） 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23的项的一般形式为(-1）ta11a23a3ra4s，其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是 （-1)ta11a23a32a44=（-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1）ta11a23a34a42=（-1
4、）2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式： （1）; 解 。 （2)； 解 . （3）; 解 . （4)。 解 =abcd+ab+cd+ad+1。 5. 证明： （1）=(a-b）3; 证明 =(ab)3 。 (2); 证明 . （3）; 证明 （c4-c3, c3c2, c2-c1得） （c4c3， c3c2得） . （4） =（a-b）(a-c）(ad）（bc)(bd)（cd）（a+b+c+d); 证明 =（ab）（ac)（ad）(bc）（b-d)（cd)(a+b+c+d). （5）=xn+a1xn-1+ +an1x+an 。 证明 用数学归纳法证明
5、. 当n=2时， , 命题成立。 假设对于（n1)阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn1+a1 xn2+ +an-2x+an1， 则Dn按第一列展开, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an 。 因此， 对于n阶行列式命题成立. 6。 设n阶行列式D=det(aij)， 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转， 依次得 ， ， ， 证明， D3=D . 证明因为D=det(aij）, 所以 . 同理可证 。 . 7. 计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）： (1）, 其中对角线上元素都是a， 未写出的元素都是0; 解 (按第n行展开) =anan2=an2(
6、a21）. (2)； 解 将第一行乘（-1)分别加到其余各行， 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 =x+(n1）a(x-a）n1. (3)； 解 根据第6题结果, 有此行列式为范德蒙德行列式. . (4）； 解 （按第1行展开） . 再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n-2bncnD2n2, 即D2n=(andnbncn）D2n2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det（aij）， 其中aij=|ij|； 解 aij=ij， =（-1)n-1（n-1)2n2。 (6), 其中a1a2 an0. 解 . 8。 用克莱姆法则解下列方程组: （1); 解 因为 , , ,
7、 , ,所以 , , ， . （2）. 解 因为 , , , , , , 所以， ， , ， 。 9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解。 10. 问l取何值时， 齐次线性方程组有非零解? 解 系数行列式为 =(1l)3+(l-3）4(1-l)2(1-l)(3-l) =（1-l）3+2（1l）2+l-3. 令D=0， 得 l=0, l=2或l=3。 于是, 当l=0， l=2或l=3时， 该齐次线性方程组有非零解. 第二章矩阵及其运算 1。 已知线性变换： , 求从变量x1
8、, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换。 解 由已知: , 故 , . 2. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 3. 设, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4。 计算下列乘积: （1）； 解 . (2); 解 =（13+22+31)=（10). （3）; 解 . （4) ； 解 . (5）； 解 =（a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5。 设, , 问： （1)AB=BA吗? 解 ABBA. 因为, , 所以ABB
9、A. (2)（A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解 （A+B）2A2+2AB+B2. 因为, , 但 , 所以(A+B）2A2+2AB+B2. (3)（A+B）(A-B)=A2-B2吗? 解 （A+B）(A-B）A2-B2. 因为, , , 而 , 故(A+B)（A-B）A2-B2. 6。 举反列说明下列命题是错误的: (1）若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A0. (2）若A2=A, 则A=0或A=E; 解 取, 则A2=A， 但A0且AE. (3）若AX=AY， 且A0， 则X=Y 。 解 取 , , , 则AX=AY， 且A0, 但XY 。 7。 设, 求A2, A3
10、, , Ak. 解 , , , . 8. 设， 求Ak 。 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明： 当k=2时， 显然成立. 假设k时成立，则k+1时, , 由数学归纳法原理知： . 9。 设A, B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵. 证明 因为AT=A, 所以 （BTAB)T=BT（BTA)T=BTATB=BTAB, 从而BTAB是对称矩阵. 10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 证明 充分性： 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB）T=(BA）T=ATBT=AB, 即AB是对称矩阵。 必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB）T=AB, 所以 AB=（AB）T=BTAT=BA. 11. 求下列矩阵
