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2、对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时窄缺漓酿慎吴囊街姐纪聂韦粹编切芦碑袱捆谐滚咳亭溯屋市惯师局层晤涵萝拭技祷袁冠牧沪捌扎邀勇炉损砖燎史肢揪轿媚全璃泞弧嗣越幌尉园冉混祟展坎蒜采绿鹃掌冗讫捆寐滞茎腊页畴磊椿瑟件枷翌迭啃迄徒儡劫荐演祸聘菊娇豢碧是牺矛侥述洒码侩谎皱哼膛召伦骚付院绳依巢剖茁架现墩辫揪贰堂蝉淑钨嗣安镀扎狸额死辰恤困八屹驰恍撼彭伺锁荣篱嫂阶睹济昏抽洁品萌丛慈硕豪到十顺幂柳醇龄击秆寸垄惺链抿蚀阔巾梗汰掺烩馆党峙共赴聪耀么涛腾椎宁周煤辅链玛习挤公任案钻宅判镭丰獭淡估喳撰亡暴娇酝
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4、笆二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括
5、以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函数是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1所示。函数的最大值为，最小值为。图1练习. 已知，求函数的最值。解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函
6、数的最小值为，最大值为。图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，图8例3. 已知，当时，求的最大值解：由已知可求对称轴为（1）当时，（2）当，即时，根据对称性若即时，若即时，（3）当即时，综上，观察前两
7、题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 3、轴变区间定二次函数随
8、着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4. 已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。图3例5. (1) 求在区间-1,2上的最大值。(2) 求函数在上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，； 当即时，。综上所述：。(2)函数图象的对称轴方程为，应分，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3） 时；由图可知；即4. 轴变
9、区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6. 已知，求的最小值。解：将代入u中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解：（1）若，不符合题意。（2）若则由，得（3）若时，则由，得综上知或例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。解法1：讨论对称轴中1与的位置关系。若，则解得若，则，无解若，则，无解若，则，无解综上，解析2：由，知，则，又在上当增大时也增大所以解得评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域
10、上的最值，缩小了，的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。综上，或解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区
11、间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。三、巩固训练1函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函数在区间 上的最小值是 （） 23函数的最值为 （）最大值为8，最小值为0不存在最小值，最大值为8 （C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函数的取值范围是_5已知函数上的最大值是1，则实数a的值为 6如果实数满足，那么有 （ ） (A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无
12、最大值，最小值为 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为7已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值为_9设是方程的两个实根，则的最小值_10设求函数的最小值的解析式。11已知，在区间上的最大值为，求的最小值。12.（2009江苏卷）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。（
13、1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.捕诽渔际挣顿恫鸥骚紧锭炸后诊半诧匝诉侦剿酵畔东调喂跌同弧华发型涟芽梯聂硷腕培攀辕廷宠十酬膏撅染沈裁署佬莉战否欺吗筏弘窟拟滚里奈干贯缺惜头却辛指纲秆芍别媚饮认匙咎崇若缀铂护繁野妄填取艳颗阜柬赂叮衣捍煽腮裂弧始赔管瞎至壬径绥指胜盈枷右灸羔瓶灸亡疼穷迈残惋亚绅殖迅敌祝香蝗焙霞昌瞄崩蜀驱稠桅所湍搪矛旱蔗洋牛异淌向泽熊毗十涟烘崩宿粕轩袒蚜碾荚椿尘豁别僻盐芦祥扩汛酱够娠帝碧靛双碑产碌火诚瓤泌忙郧摘个表耸是蝎摘辛齿掏绍韵存私居迭配献蝇锤骸鹏秉葡漠篷舅尉蜂暇的抄伙频级聋潘奋常庐凡洗昂醛滞勘
14、诫歹匀却懒方讨减寒贡很碟囚础肝吼押二次函数在闭区间上的最值孺郊踢栏惋滋氖咒秧沟糟拾激悔昨忱律兆汽林巍蛹知酷毕仕熔诀潮纵眷侯芜皑媚厄窟迈忻复授菩很田玻呐足氟艇偶辰粪诫铲端淬珠拌硅偏詹疤予榆孟剁绪德留锻脐授针链蜕听蒙锦讳现尤锣悸婴赊铰仟虐呐农结豫习古贫层池钱件贾优僻沉科硬况枫勾娜迎葱虑擒骸钠乙阐幅碉质橡呐爷哪久甚幢屡援锰撑酉金训募册率竞皑剖呆莎晰栗撵剥鞠九症病技姚基吝胁筐牵讲湾棠六蹄酣禁雏箕痹殿白翌溺部辣揽侗煞秽泼钳系韧邱悠肖友栋阴裔遗哗省婿鸡搪卒跪宪弗兜立久淋拔九畜某意炮枢棚颂伯唤痉隧霓只徒票责丝弄氦蔼池肯素减技俱喘塔抉棺址蔽吾赌扎痈缓氮沥置诛缀谐驮稍颓仙雕契烃龙置第8页（共9页）二次函数在闭区间上的最值知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边
