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1、第五张 刚体力学 平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A为基点）（2）刚体内的瞬心S： 析为基点转动的矢量和， 值得注意的是：有转动时与的微分，引入了与 项。2 刚体的动量，角动量，动能（1）动量：（2）角动量： 式中： 转动惯量 惯量积 且* 方向（以为轴）的转动惯量： （分别为与轴夹角的余弦）* 惯量主轴 惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线 若X轴为惯量主轴，则含X的惯量积为0，即: 若轴均为惯量主轴，则: 析
2、建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。 (3) 动能： * 定轴转动时: * 平面平行运动: 3刚体的动力学方程 与质点动力学方程相同。析求角动量时，须注意： 4 刚体的定轴转动: 质心定理: 角动量定理:析须注意外力与外力矩包括轴对物体作用5 刚体的平面平行运动 6 刚体的定点运动（1） 基本方程（以惯量主轴为坐标轴） 质心定理： 机械能守恒： 析 为活动坐标系绕固定坐标系的转速 则有：如： （2）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）写成分量形式： 析时，可导出 可以解释地球的纬度变迁。（3）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋） 三个角速度： 自旋： 进动： 章动：
3、总角速度： 即 由于对称；代入 可得：代入： 可整理出； 析可以用势函数来判断进动的规则性，如：规则进动时，另外，也可用S来判断，（其实更简单）。规则进动时：解题演示1 一长为的棒AB，靠在半径为的半圆形柱面上，如图所示。今A点以恒定速度沿水平线运动。试求:(1)B点的速度;(2)画出棒的瞬时转动中心的位置.解：如右图所示建立坐标系，依图知: 得: 瞬心S满足： 如上图所示.2 一轮的半径为，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度前进。求轮缘上任一点（该点处的轮辐与水平线成角）的速度和加速度。解：如右图所示建立坐标系, 则: 得：故： 3 半径为的圆柱夹在两块相互平等的平板A和B 之
4、间，两板分别以速度和反向运动，见图。若圆柱和两板间无相对滑动，求（1）圆柱瞬心位置；（2）圆柱与板的接触点M的加速度。解：如右图所示建立坐标系，设瞬心在S点。 得：（1）（2）4 高为，顶角为的圆锥，在一平面上无滑动的滚动。已知圆锥轴线以恒定角速度绕过顶点的铅直顽固不化转动。求（1）圆锥的角速度；（2）锥体底面上最高点的速度；（3）圆锥的角加速度。解：如右图所示建立坐标系，并取定点。（1） 得：（2） 则： （3）5 在一半径为R的球队体上置一半径为的较小的球，它们的连心线与竖直轴间保持角，如图。若绕竖直轴以恒定的角速度转动，小球在大球上无滑动地滚动。分别求出小球最高点A和最低点B的速度.解：
5、如右图所示建立坐标系，则有： 设球的转动速度为：则有:又有: 得:则: 6 一边长为，质量为的匀质立方体，分别求出该立方体对过顶点的棱边，面对角线和体对角线的转动惯量和.解：如右图所示，取三条对称轴建立坐标系.依对称性知:再依平行轴定理: 7 一匀质等边三角形的薄板，边长为。质量为,试在图所示的坐标系下，求出薄板对质心C的惯量矩阵，并由此导出对顶点O的惯量矩阵。图中坐标系和坐标系的坐标轴分别相互平行，和都在薄板平面内.解：（1）又因为与为对称轴，则故： （2） 8 质量为，长为的细长杆，绕通过杆端点O的铅直轴以角速度转动。杆于转轴间的夹角保持恒定。求杆对端点O的角动量.解：如右图建立坐标系 ，
6、有则：角动量 9 一半径为质量为的圆盘，在水平面上作纯滚动，盘面法线与铅直轴间保持恒定角度，盘心则以恒定速率作半径为的圆周运动。求圆盘的动能.解：如右图所示取定各参量及坐标系，则有： 且有：得： 又依： 得：故：10 一半径为的匀质圆盘，平船在粗糙的水平桌面上，绕通过其中心的竖直轴转动，初始时刻圆盘的角速度大小为。已知圆盘与桌面间的磨擦系数为。问经过多少时间圆盘将停止转动？解： 故：11 如图，一矩莆匀质薄板，长为，宽为，质量为。薄板绕竖直轴以初角速度转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？解： 得 ：积分并代入： 得：
7、故时：12 一质量为，长为的匀质细长杆，一端与固定点o光滑铰链。初始时刻杆竖直向上，尔后倒下。试分别求出此后杆绕铰链O转动的角速度，作用于铰链上的力与杆转过的角度的关系.解：（1）如右图。有： 得：将移至右侧且积分得： 得：（2） 设 则以质心C为参照点有： 得：在方向上：得：故：13 一段匀质圆弧，半径为R绕通过弧线中点并与弧线垂直的水平轴线摆动。求弧线作微振动时的周期. 解：参量如右图所示，易求得：（由4.1题知）而：，故：又因为是微振动，故： 积分得：则：14 一矩形薄板，边长分别为和，以角速度绕对角线转动。今若突然改为绕边转动，求此时薄板的角速度。解：如右图所示，则： 对OA轴： 设绕
8、OB轴的角速度为：则有：在转换时，方向有冲量矩作用，而方向动量矩守恒，故有： 得：15 一半径为，质量为的球体，无转动地以速度运动，今若突然将其表面化上的一点O定住不动，求此后球体的角速度矢量及球体对O点的角动量。已知O点和球心C的连线与成角，如图所示.解：如右图所示建立坐标系，则：当点O固定时： （）又因为 故： 16 一匀质圆盘竖直地在一坡角为的斜面上无滑动滚下。证明：（1）圆盘质心的加速度大小为；（2）圆盘和斜面间的磨擦系数至少为。证明：（1） （）以开始处为势能原点，则因无滑动： 则：得：（2）依 而 得： 17 长为的匀质棒，一端以光滑铰链悬挂于固定点。若起始时，棒自水平位置静止开始
9、运动，当棒通过竖直位置时铰链突然松脱，棒开始自由运动。在以后的运动中（1）证明棒质心的轨迹为一抛物线；（2）棒的质心下降距离时，棒已转过多少圈?解：（1）证明：如右图建立坐标系 ，刚松脱时，具有，满足： 得：则此后：消去参数得：即为抛物线。（2）质心下降时，有： 得：则转动圈数：18 质量为的平板，受水平力的作用，在一不光滑的水平面上运动。平板与水平面间的磨擦系数为。平板上放有一质量为的匀质实心圆球，在平板上作纯滚动，试求出平板的加速度.解：运动时，球与板之间无滑动，则：设球与板磨擦力为，则：可得：故： 而： 依能量守恒，有：得：19 一粗糙的半糙的半球形碗，半径为，另有一半径为较小的匀质球体
10、从碗边无初速地沿碗的内壁滚下，如图求出球体的角速度大小与所在位置角的关系，以及球体在最低处时球心的速度.解:依题意知： 取开始时，则：依机械能守恒 得：得：而：20 一半径为R的匀质圆球，置于同样的固定球体的表面上。初始时刻此两球的连心线与铅直线成角，球体静止，尔后开始沿固定球表面无滑动地滚下。求出球体脱离固定球表面时，连心线与铅直线间的夹角，及此时球体的角速度的大小。 解；依能量守恒与受力分析知，刚脱离时： 可解得：21一半径为的球体，绕其平的直径以角速度转动，尔后将其放置在磨擦系数为的水平桌面上。求出此球体开始作纯滚动时，球体已前进的距离。解：依题知球受一稳定外力为：，当纯滚动时： 且此时
11、： 代入上式得： 故： 22桌球是用棍棒冲击使球体运动的一种游戏。设桌球的半径为，置于光滑的平面上。问应在什么高度处水平冲击球体，球体才不会滑动而作纯滚动？解：设打击中心的高度为，当纯滚动时： 且 ，代入：， 可得： （以地面为参考系）23 一半径为R的匀质球体，以速度在水平面上无滑动地滚动，突然遇到一高为（）的台阶，见图。球体受台阶的冲击是非弹性的。试求出球体受到冲击后，角速度的大小。若球体在台阶处无滑动，为使球体能登上台阶，初速度的大小 至少应为多大？解：（1）依情形知；受列冲量 有： 则冲击后角速度大小：（2）球登上台阶，须满足：解得：24 一半径为的匀质圆盘，在光滑的水平面上绕铅直的直
12、径以角速度转动。证明：时，圆盘旋转是稳定的.解：如右图所示建立坐标系，得： 则： 当稳定时：可得： 得：对称重陀螺定点运动的稳定性即规则问题可以从两方面入手，规定运动（1） （2）由于（2）方面解题更快，下题采用此法25 一陀螺由一半径为的匀质圆盘和长为的轴杆构成，圆盘的质量为4，轴杆的质量为，此陀螺绕杆的端点O作定点转动，如图所示，若欲使陀螺绕铅直轴作规则进动，且盘的最低点M保持与O点在同一水平面内，则陀螺的角速度在对称轴上的分量应满足什么条件？解：依题及图可得：为规则进动时： 再将代入并化简得满足： 满足：，故只须满足：得：26 一对称陀螺初始时自旋角速率，转轴与铅直轴间的夹角为，尔后释放。求在此后的运动中，角将在什么范围内摆动？解：依题意知：陀螺将在与另一角度之间章动，依平衡知将代入得： 则： 即： 代入： 可得： 27一对称陀螺，质心离顶点的距离为，对顶点的主转动惯量为，和。若此陀螺对顶点作规则进动，进动角速度大小为，章动角为。求出陀螺的角速度在对称轴方向的分量.解：因为
