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1、初中数学知识点归纳函数篇一、函数1. 常量、变量和函数在某一过程中可以取不同数值的量，叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数，叫做常量或常数一般地，设在变化过程中有两个互相关联的变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量 2. 函数的两要素(1)函数的定义域(2)对应法则3. 函数的表示方法(1) 解析法 就是用一个等式来表示一个变量是另一个变量的函数，这个等式叫做这个函数的解析表达式(函数关系式)(2) 列表法 (3) 图像法 4. 函数的值域一般的，当函数f(x)的自变量x取定义域D中的一个确定的值a时，函数都有唯一
2、确定的对应值，这个对应值称为x=a时的函数值，简称函数值，记作：f(a)5. 函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标平面上描出一个点(x，f(x)，这些点构成一个图形F，这个图形F就是函数y=f(x)的图像 知道函数的解析式，要画函数的图像，一般分为列表，描点，连线三个步骤二、正比例函数与反比例函数1. 正比例函数一般地，函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做变量y与x之间的比例常数，确定了比例常数k，就可以确定一个正比例函数正比例函数y=kx有下列性质:(1) 当k0时，它的图像经过第一、三象限，y随着x的值增大而增
3、大；当k0时，他的图像的两个分支分别位于第一、三象限内，在每一个象限内，y随x的值增大而减小；当k0时，它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大 (2) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴 三、一次函数1. 一次函数及其图像 形如y=kx+b(k，b为常数)的函数叫一次函数如果k=0时，函数变形为y=b，无论x在其定义域内取何值，y都有唯一确定的值b与之对应，这样的函数我们称它为常函数直线y=kx+b与y轴交与点(0，b)，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称纵截距2. 一次函数的性质函数y=f(x)，在a x b上，如果函数值随着自
4、变量x的值增加而增加，那么我们说函数f(x)在a x b上是递增函数；如果函数值随着自变量x的值增大而减小，那么我们说函数y=f(x)在a x b上是递减函数如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像，交点的坐标就是这个方程组的解，这种求二元一次方程组的解法叫图像法3. 一次函数的应用一、定义一般地，形如yax2bxc(a，b，c为常数且a0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，y是x的函数二次函数表达式的右边通常为二次三项式二、二次函数的三种表达式一般式：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)顶点式：ya(xh)2k ，抛物线的顶点为P(h，k)，对于二次函数yax2bxc，其顶点
5、坐标为(b/2a，(4acb2)/4a)交点式：ya(xx1)(xx2) ，此时仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线，其中x1(bb24ac)/2a，x2(bb24ac)/2a注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：hb/2a(x1x2)/2，k(4acb2)/4a； 与x轴交点：x1，x2(bb24ac)/2a三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数yx2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线四、抛物线的性质1抛物线是轴对称图形对称轴为直线xb/2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地，当b0时，抛物线的对称轴是y轴，即直线x0，此时函数
6、解析式变形为yax2c(a0)2抛物线有一个顶点P，坐标为P (b/2a ，(4acb2)/4a ) 当b/2a0时，P在y轴上；当 b24ac0时，P在x轴上3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口|a|越大，则抛物线的开口越小当a0时，函数在xb/2a处取得最小值f(b/2a)(4acb2)/4a；当a0时，函数在xb/2a处取得最大值f(b/2a)(4acb2)/4a4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右5常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y
7、轴交于(0，c)6抛物线与x轴交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点b24ac0时，抛物线与x轴没有交点7函数值的变化特征若a0，抛物线开口向上，当xb/2a时，y随着x的增大而减小；当 xb/2a时，y随着x的增大而增大；函数值y(4acb2)/4a若a0，抛物线开口向下，当xb/2a时，y随着x的增大而增大；当 xb/2a时，y随着x的增大而减小；函数值y(4acb2)/4a三、解答题：21人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄。当车速为50km/h时，视野为80度。如果视野f（度）是车
8、速v（km/h）的反比例函数，求f，v之间的关系式，并计算当车速为100 km/h时视野的度数.22杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端B处，其身体(看成一点)的路线是二次函数图象的一部分，如图.（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由. AC（第22题）B23鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码鞋长（cm）16192124鞋码（号）22283238（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x
9、，y）在你学过的哪种函数的图象上？（2）求y与 x之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？24如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；（第24题）(4)求不等式的解集（请直接写出答案）. 25l1l2xyDO3BCA（4，0）如图，直线的函数表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点（1）求点的坐标；（2）求直线的函数表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得（第25题）与的面积相等，请直接写出点的坐标26如
10、图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点、的位置，并写出它们的坐标: 、 ；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 .（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标27某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情
11、况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式，而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示（1）试确定的值；（2）求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；（3）“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？2524y2（元）x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 O（第27题）28已知：如图，函数的图象与x轴相交于点A，与函数的图象相交于点P（1）求点P的坐标（2）请判断的形状并说明理由F（第28题图）yOAxPEB（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点
12、A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B设运动t秒时，矩形EBOF与OPA重叠部分的面积为S求： S与t之间的函数关系式 当t为何值时，S最大，并求S的最大值21. 解：设之间的关系式为时，解，得所以，当时，（度）答：当车速为100km/h时视野为40度22. 解：（1）= ，函数的最大值是.答：演员弹跳的最大高度是米.（2）当x4时，3.4BC，所以这次表演成功.23.（1）一次函数（2）设由题意，得解得 （x是一些不连续的值一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、26、26.5、27等）（3）时，答：此人的鞋长为27cm24. 解：（1）在函数的图象
13、上反比例函数的关系式为： 点在函数的图象上经过，解之得一次函数的关系式为：（2）是直线与轴的交点当时，点（3）（4）25. 解：（1）由，令，得（2）设直线的函数表达式为，由图象知：，；，直线的函数表达式为（3）由解得，（4）26. 解：（1）如图：，(2) (b，a)(3)由(2)得，D(1,-3) 关于直线l的对称点的坐标为(-3,1)，连接E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小 -6分设过(-3,1) 、E(-1,-4)的直线的函数关系式为，则 由 得 所求Q点的坐标为（，）27. 解：（1）由题意：解得（2） ；（3） ，抛物线开口向下在对称轴左侧随的增大而增大由题意，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大最
