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1、精品文档对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:设b a 0 ,则 ba+ b b- a -2a b- -一 Vab /一r a,其中:1被称为“对数2 lnb- lna1 . 1lna InbI a b平均数”安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解1 对数平均数不等式链的几何证明1 一一 _如图，先回反比例函数 f x - x 0的图象，再回其他的辅助线，其中 AP BC TU KV , x11_ 1
2、MN CD x 轴，A a,0 , P a,- , B b,0 ,Q b,- , T Vab,- .设函数 f x 在点 ab. aba b 2 K a-, 处的切线分别与直线 AP,BQ交于点E,F ,则根据左图可知:2 a b因为与边梯形ABQP S梯形ABFE = S矩形ABNM，b1 , ,21所以 a -dx= lnb- ln a -(b- a).Q xa+ bab 111因为 Sffi 边本W AUTP = Q dx= 1n 4ab - lna二二(ln b- ln a) = ：S曲边卞abqp, B x222 S弟形 ABCD ,b- a而根据右图可知：与边梯形AUTP S梯形A
3、UTP，所以1nb- lna -=r .ab随意编辑另外,根据s矩形ABQX Sft边本W ABQP SB形 ABQP S矩形ABYP，可得:b(b-小* ma 12?aTb-1a) (b-aa).综上,结合重要不等式可知:b(b-、2(b- a)a) Inb-a+ b1n ab-12?a+、1，、a)a+ b b- a 2 In b- In a211一+ a b a(b a0).2 对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷,如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标I、 2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥
4、最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式a+ b2b - a, b a，记为式；将ln b - ln ab- a ln b- ln a高，记为式；将b2 厂 + a变式探究X1,b X2 ,则由知:XiX22X2Xiln x2ln x1.于是，可编制如下试题：已知x2X10 ,求证:ln x2ln x12(x2 Xi)x1 x2变式探究X1,bX2 ,则由知:X2Xiln x2ln x1jxx?.于是，可编制如下试题：已知x2X10,求证:ln x1精品文档x1 1x2 1随意编辑变式探究3 ：取ax1, bx2，则由知:
5、x2X2 x12 .于是，可编制如下试题：已ln x2 1nxi1 1xi X2知x2x10 ,求证:x2ln x2ln x12x22xi2x1x2变式探究4：取axi i,b x2 1 ,则由知:(xi i) % i)2(x2 i) (xi i)ln(x2 i) ln(xi i)编制如下试题：对任意 xi,x2 ( i,x2 xixi x2.)，且 x1 x2 ,求证： 2i 2 i.ln(x2 i) ln(xi i) 2变式探究5 ：取axi i,b x2 i,则由知:(沟 i) (xi i)ln(x2 i) ln(xi i)、(为i)d i).于是,可编制如下试题：对任意 xi,x2 (
6、 i,)，且x1 x2 ,求证:X2 xi x#2 xi x2 1ln(x2 1) ln(x1 1)变式探究6：取axi i,bx2 i,则由知：x2 1d i) (% i)ln( x2 1) ln(x1 1)211x1 1x2 1于是,可编制如下试题：对任意 xi,x2 ( 1,)，且x1 x2 ,求证:x2 1x2 x1ln( x2 1) ln(x) 1)2(xi 1)(x2 1)x1 x2 2变式探究7：取a x1 i,b x2 1 ,则由知:(xi i) % i)2% i) (xi i)ln(x2 1) ln(x1 1).于是,编制如下试题：对任意 xi,x2 (1,)，且 xi x2
7、 ,求证： Jx22 1.ln(x2 1) ln(x1 1)2变式探究8：取axi i,b x2 1,则由知:ln： 1) X).于是，可编制如下试题：对任意 xi,x2 (1,)，且x1 x2 ,求证:x2xiln(x2 1) ln(x1 1)变式探究9 ：取axi i,b x2 i,则由知：x2 1函 i) (xi i)ln( x2 1) ln(x1 1)于是,可编制如下试题：对任意 xi,x2 (1,)，且xi x2 ,求证:精品文档2函 1)(x2 1)x1 x2 2、，d(x2 1) (x1 1)x2 1 ln(x2 1) ln( x1 1)随意编辑变式探究10 ：取a均u e ,b
8、ex2,则由知:*_x2e e2ex2 ex1一 一.于是，可编制如下试题：对任意x2 x1x1,x2 R ,且 x2 x1 ,求证:乂2%e2 ex1%e e变式探究11 ：取ae ,bex2,则由知:_x2.e2 e、ex1 ex2 .于是，可编制如下试题：对任意x1,x2 R ,且 x2 x1 ,求证:X22 x, x2x1e变式探究12 ：取ax1e ,bex2,则由知:任意x1, x2R ,且x2X1 ,求证:x2e”且上x2x,X2X1ex2ex2e”ex2ex1x2 x12ex1 x2e% ex2丁.于是,可编制如下试题：对ex1ex22e不1 e为_x1一 x2e1 e2x21.x2x1总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.
