《概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第三章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第三章（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质lijPijT，可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1) PaXb,Yc解答：PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2. 设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(2) P0Yb;解答：POvYa,Ya,Yb=F(+x,b)-F(a,b).习题3(1)3. 设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1
2、) P12X32,0Y4;解答：P12X23,0Y4PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2) P1X2,3Y4解答：P1X2,3Y0,Y0=37,PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0.解答：PmaxX,YO=PX,Y至少一个大于等于0=PX0+PY0-PX0,Y0=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概
3、率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：X=-1,Y=0,X=0,Y=13,X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：(2)PY=0=PX=-l,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0=0+16+512=712,同样可求得PY=13=112,PY=1=13,关于的Y边缘分布见下表：习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0),其概率密度
4、为f(x,y)=1200nex2+y2200,求PXY.解答：由于PXY=1,且由正态分布图形的对称性，知PXY,故PXY=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0vxv2,2vyv40,其它，(1) 确定常数k;(2)求PXv1,Yv3;求PXv1.5;(4)求PX+Y4.解答：如图所示(1) 由L+T-g+wKx,y)dxdy=l,确定常数k.j02j24k(6-x-y)dydx=kj02(6-2x)dx=8k=l,所以k=18-(2) PXl,Y3=j01dxj2318(6-x-y)dy=38.(3) PX1.5=j01.5dxj2418(6-x-y
5、)dy=2732.(4) PX+Y4=j02dxj24-xl8(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)=cxy,0xl,0y10,其它，试求：(1)常数c；(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=-(+gJ-(+gf(x,y)dxdy=cj01j01xydxdy=c4,c=4.当x1,y1时，显然F(x,y)=l；设0xl,0yl,有F(x,y)=J-wxJ-(yf(u,v)dudv=4j0xuduj0yvdv=x2y2.设0xl,有F(x,y)=PXl,Yl,0yl,有F(x,y)=PXl,Yy=4j01xdxj0yvdv=y2.函数F(x,y)
6、在平面各区域的表达式F(x,y)=0,x0或y0x2,0xlx2y2,0xl,0y习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=4.8y(2-x),0xl,xy10,其它，求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=J-g+gf(x,y)dy=j0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=S+wf(x,y)dx=j0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=j01(x-x2
7、)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=6,0xl,x2yx0，其它，从而fX(x)=J-g+gf(x,y)dy=6jx2xdy=6(x-x2),0xl,即fX(x)=6(x-x2),0x10,其它，fY(y)=J-g+gf(x,y)dx=6jyydx=6(y-y),0yl,即fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为(1)求Y的边缘分布律；求PY=0|X=O,PY=1|X=0;(3)判定X与Y是否独立？解答：(1) 由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.Py=0=Px=0,y=0+Px=l,y
8、=0=715+730=0.7Py=l=01Px=i,y=l=130+115=0.3.(2) Py=0|x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1Ix=0=13.(3) 已知Px=0,y=0=715,由(1)知Py=0=0.7,类似可得Px=0=0.7.因为Px=0,y=0Px=0-Py=0,所以x与y不独立.XY51555555155551151155511551习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为(1) 求边缘分布律；(2) 求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.1解答：(1)边缘分布律为X515555
9、5k1155对应X的值，将每行的概率相加，可得PX=i.对应Y的值(最上边的一行),将每列的概率相加，可得PY=j.PX=kIY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,k=51,52,53,54,55.列表如下：k5155555PX=k|Y=515习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求:(1) 在Y=1的条件下,X的条件分布律；(2) 在X=2的条件下,Y的条件分布律.XY151:2111解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X121Y1212112故在Y=1条件下，X的条件分布律为X|(Y=1)1211(2)在X=2的条件下，Y的条件分布律为Y|(X=2)1
10、2习题4已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0vxvl,0vyvx0,其它,求:(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.解答：(1) fX(x)=J-(+gf(x,y)dy=3x2,0vxvl0,其它，fY(y)=J-(+gf(x,y)dx=32(l-y2),0vyvl0,其它.(2) 对Vye(0,1),fX|Y(xIy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yvxv1,0,其它,对VxU(0,1),fYIX(yIx)=f(x,y)fX(x)=1x,0yx0,其它.习题5X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布,PX+Y=1,PX
11、+YO.X2112111表(a)Y121121表(b)解答：由X与Y相互独立知PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表PX+y=l=PX=-2,y=3+PX=0,Y=l=116+148=112,PX+YO=1-PX+Y=O=1-PX=-1,Y=1-PX=12,Y=-12=1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:558:00,而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为fY(y)=2(5-y)25,0y50,其它，求此人能及时上火车站的概率.解答：由题意知X的密度函数为fX(x)=15,0x50,其它，因为X与Y相互独立，所以X
12、与Y的联合密度为：fXY(x,y)=2(5-y)125,0y5,0xX=j05jx52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12ne-x22，fY(y)=12ne-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12ne-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-Ix|(-gvxv+x),问：X与IXI是否相互独立？解答：若X与IXI相互独立，则Va0,各有PXa,IX|a=PXa-PIXIa,而事件IXIauXa,故由上式有PIXIa=PXa-PIXIa,OPIXIa(l-PXa)=0OPIXaI=0或1=PX0)但当a0时，两者均不成立，出现矛盾，故X
