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1、【第五部分】不定积分1.书本知识(包含一些补充知识)原函数：F (x) =f (x), xei,则称f (x)是f (x)的一个“原函数”。若F (x)是f (x)在区间上的一个原函数，则f (x)在区间上的全体函数(x) +c (其中c为常数)基本积分表1dx = j dx = x + c(1)(2)为F(3)j(a尹1, a为常数)jL dx = In x 1+ cxjax - dx = F_ + c(a0, a 牛 1, a为常数)j ex - dx = ex + cj . 1- dx = arctan x( 1 + x2j . 1- dx = arcsin x(11 x2j In x
2、- dx = x - In x - x + c1 .)j- dx = In x +，1 + x 2 + c1 + x2j 1 x,J .- dx = arcsin + ca 2 - x 2aj 11, x ,-dx = arctan + ca2 + x2a aj 11 i-dx =-Ina 2 - x22a-arc cot x+ c-arccos x/ + cj shx - dx = chx + c j chx - dx = shx + c-j 地=-ln|cos x| + c cos xj sin x - dx = - cos x + c j cos x - dx = sin x + c j
3、 tan x - dx = Inlcos x| + cj cot x - dx = Inlsin x| + cJ sec x - dx = ln|sec x + tan x| + cj csc x - dx = Inlcsc x - cos x| + cr / x 1 . c ,sin2 x - dx =一一 sin 2 x + c2 4j x , 1 cos2 x - dx = + sin 2 x + c2 4J tan2 x - dx = tan x - x + cJ cot2 x -dx = - cot x - x + cJ sec2 x - dx = tan x + cJ csc2 x
4、 - dx = - cot x + c J sec x - tan x - dx = sec x + c J csc x - cot x - dx = - csc x + c-dx = ln、 x2 + a2 + x + c(4) 零函数的所有原函数都是c(5) C代表所有的常数函数(6) 运算法则 J a - f (x) - dx = a - J f (x) - dx Jf (x)土g(x)】dx = Jf(x)-dxJg(x)-dx 加减运算 _数乘运算(7)复合函数的积分：J f tp (x)p(x) - dx = F tp (x)+ c（8）一般地，J f (ax + b) -dx =
5、 L J f (ax + b) -d(ax + b) = !-F(ax + b) + c aaJ f (x + b) - dx = F (x + b) + c（9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的 函数一定不连续。（10）不定积分的计算方法 凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性J % a 2 - x2 - dx n x = a - sin tJ % x2 - a2 - dx n x = a - sec tJ 玉 x 2 + a 2 - dx n x = a - tan t贝UJ u(x) - v(x)
6、- dx也存在分部积分法：若=u(x), V = v(x)均可导，且J u(x) - v(x)-刁尤存在, 并有：Ju (x) - v (x) - dx =u (x) - v( x) -J u(x) - v( x) - dx 简写为：J u - dv =u - v -J v - du【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u)功能：dy = ydu = f (u) - du说明：设函数为y = f (u),此时如果是自变量，则函数)=f (u )的微分形式为: dy = y du = f (u) - du如果是中间变量，即u = g(x),函数即为复合函数。自变量为x,即： y =
7、 L(x)复合函数求导得：y = flg(x)】g(x).那么复合函数 y = fg(x)I自变量为x, g(x) = u为中间变量的微分形式为： dy = ydx = f g，(x)l g(x) - dx.因为u = g(x), g(x) - dx = du.带入得：dy = f (u) - du因此，无论是自变量还是中间变量，均有dy = f(u) - du这称为一阶微分形式不变性。1(11) J .= - dx nln x 2 + a 2 + x + c(12) 分段函数的积分 例题说明：J maxi, x 2 dx解：,、x2( xV -1) max i, x2)= 1( -1 x 1
8、)f 12八-x3 一一 + c (xV -1)331j ma机x 2) -dx=匚1 x 1)333需要说明的一点，依据连续的原则，c ,c ,c需要调整123(13) 在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是 将其中的一 次方处理到最后dx的部分。如Jsin3 x- dx = - Jsin2 x- d cos x(14) 在做不定积分问题时，若遇到sinx与cosx同时出现且指数不同的情况，则需 要通过三角函数公式尽量将其转化成同一次方再进行计算或将二者合并以达到 化简的目的。(15) 在计算不定积分过程中，如果单独遇到sinx的问题，则sinx = 2sinX-co
9、sX 22(16) 隐函数求不定积分例题说明：例题：设y是由方程y (尤-y)2 =尤确定的隐函数，试求j -dx x -3y.13t 一解法 1： 令x - y = t，贝Ux =, y =,带入。12 - 112 - 1x解法2： y(x- y)2 = xn (x- y)2 +1 一 = 1 n (x- y)2 = cos2 dy所以1- x = sin2 d y所以：x = sin8+互;y =虹，带入。 cos2dcosd(17) 三角有理函数积分的万能变换公式j R(sin x, cos x) - dx令t = tan xj R( 生, 室 )-dt 21 +12 1 +12 1 +
10、12_ 1 -12其中1 + t2,t = tan2xT tanx = * 2t1 -12sin x =I 1 + 12(18) 某些无理函数的不定积分 无理函数中带有二(根号)，变形时将整个根号变为t，即t =、项例如：j1 ： 土. dx 令 t=.、： 土 j 土1 . t . 68 . dtx, x-2,x-2 2t2 + 2k2 P2=j / dt = -2j - + - - dt =. 2 + 休-V 12 + 1 12 - 1) 欧拉变换人* ,工，八 若a 0, 令 J ax2 + bx + c = t -寸 ax 含有寸ax 2 + bx + c的积分0,令 Jax2 + b
11、x + c = xt - Jc对于可得：ax2 + bx + c = 12 - 2：atx + ax2对于可得：x = b + 2t2 -a(19) 其他形式的不定积分 jx- f (x) -dx = jx-df(x) = x- f(x) -f f(x) -dx = xf(x) - f (x) + c jex - sin x - dx = A - ex - sin x + A - ex - cos x +。寺定系数法) jx2 -ex -dx = exA -x2 + A -x + aLc jB -x2 + B -x + B ) ex -dx = exA -x2 + A -x + A Xc122
12、123 组合法：I =j . dx1 sin x + 2 cos xI =j dx2 sin x + 2 cos xI +1 = j 1. dx = x-21 +1 = ln|sin x + 2 cos x|2.补充知识（课外补充）例谈不定积分的计算方法】女1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法（1）定义：若函数f（x）在区间I上连续，则f（x）在区间I上存在原函数。其 中少（x）=F（x）+co，（Co为某个常数），则少（x）=F（x）+co属于函数族F（x）+cj 积分号f （x） T被积函数x T积分变量f （x） dx 被积表达
13、式推论：若/（x） = k f （x） dx i ii=1则：j f （x） dx = k j f （x） dxi = 1（2）一般积分方法指笔竺一有理函翻有理式有理函数二角函数有理式多席莒言丁摹二 简匚嚣野,值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方 法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能 够积出。不能用普通方法积出的积分：例如:f e - x2 dx,sin x ,一 -dx,f sin2 x dxf l- - dxf . 1 dxf % 1 + x 3 dxf %1 k2 sin2 x dx（0VKV1）2、特殊类型不定积分求解方法汇总(1)多次分部积分的规律f u V(n+1) dx = u V (n) 一 f u V(n) dx = u v(n) 一 U V(n-1) + f U V(n-1) dx=u V (n) - u V (n-1) + u V (n-2) + . + (- 1)i+1 f (n+1) V dx快速计算表格:Jln+l-k；I特别， 例题:当U为n次多项式时，计算大为简便.1*/-碇(2)对于f
