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1、案例九马尔科夫预测一、市场占有率的预测重点例1:在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用 1, 2, 3表示。去年 12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1,2和3产品的消费者分别为800, 600和600。同时得到转移频率矩阵为：320240240N3601806036060180其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费 者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。(1) 试对三个厂家17月份的市场占有率进行预测。(2) 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。解：(1)用800, 600
2、和600分别除以2000,得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布p0 (0.4,0.3,0.3)。用800, 600和600分别去除矩阵N的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：0.40.30.3P0.60.30.10.60.10.3丁是，第k月的绝对分布，或第 月的市场占有率为:Pk0pP(k)p0Pk(1,2,3,L ,7)k1时，1p0.4 0.3 0.30.4 0.3 0.3 0.6 0.3 0.10.52 0.24 0.24k2时,2 p0.6 0.1 0.32- -0.4 0.3 0.3 P0.52 0.24 0.24 P0.496 0.252 0.252k3 p
3、30.40.3时30.3 P 0.496 0.252 0.252 P 0.5008 0.2496 0.2496类似的可以计算出p4 , p5 , p6和p7 o现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示:月份(i )三个厂家的市场占有率iPliP2iP310.520.240.2420.4960.2520.25230.50080.24960.249640.499840.250080.2500850.5000320.2499840.24998460.50.250.2570.50.250.25从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在 50%，而厂家2 和厂家3的市场占有率随都逐渐稳
4、定在25%.由丁转移概率矩阵 P是正规矩阵，因此 P有唯一的均衡点。由本例可知，0.5 0.25 0.25。由定理可知，lim p0 Pk0.5 0.25 0.25 ,即随着k时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋丁稳定。当市场达到均衡状态时，各厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%。由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场 占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一。例2:飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由丁产 品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化。 根据8、9月份的变化，预测本年后三个月
5、各厂家的用户占有率。(1) 调查目前的用户占有及变动情况8月1日的订户到9月1日发生变化的情况表7.58、9月各厂订户厂家飞跃(I )金星(U)凯歌(m)英雄(IV)8月份订户5454954173829月1日失去订户655552549月1日保留订户4804403653289月1日订户保留88.1%88.9%87.5%85.9%率7.68、9月各厂订户的变动厂家InmIV8月用户占 有数I480302015545n244401615495m182036514417IV1525143283829月用户占 有数53751541537218399月份四厂总用户为1839 ,各厂家的用户占有率分别为：
6、0.292,0.280,0.226,0.203 初始状态向量S(0)= (0.292 0.280 0.226 0.202)(2) 计算用户转移概率飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。将以上计算结果写成矩阵就是89月的一步转移概率矩阵P(3) 预测若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用(7.5)式的数学模型预测。10月各厂的用户占有率为S(1)=S(0) P0.881 0.055 0.037 0.027(0.292 0.280 0.226 0.202)0.049 0.889 0.032 0.0300.043 0.048 0.875 0.0340.039 0.065 0.037 0.
7、859=(0.289 0.289 0.225 0.197)11月各厂用户占有率为S(2)=SP厂0.881 0.055 0.037 0.027 飞(0.289 0.289 0.225 0.197)0.049 0.889 0.032 0.0300.043 0.048 0.875 0.0340.039 0.065 0.037 0.859 /=(0.286 0.297 0.224 0.193)12 月各厂用户占有率为S(3)=S(2) P= (0.286 0.297 0.224 0.193) - P=(0.284 0.303 0.223 0.190)预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进
8、行，到该年底，原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。 金星厂的用户占有率将明显 高丁其他厂，由9月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低丁其他厂。马尔科夫稳态了解二、人力资源预测重点例：某高校为编制帅资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：宵年，中年，老年和流退（流失或退休） 。根据历史资料，各类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为：P0.80.150.7500.20.800.050.050.2目前宵年教师400人，中年教师360人，老年教师300人。试分析3年后教师的 结构以及为保持编制不变，3年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍。解：设目前的教师
9、结构为n0 400 360 300 0 ,则一年后教师结构为：n1 n0P 320 330 312 98 ,流退人员98人，为保持编制不变，第一年学校需进 98人，此时宵年教师为320+98=418人。教师结构为：1n1418 330 312 0。两年后教师结构为：n2 n1 P 418 330 312 0 P 334 310 316 100第二年流退100人，因此第二年需进100名硕士和博士毕业生，此时宵年教师为 334+100=434 人。教师结构为 n2434 310 316 0。三年后教师结构为：n3 n2 P 434 310 316 0 P 347 298 315 100第三年流退1
10、00人，因此第三年需进100名硕士和博士毕业生，此时宵年教师为347+100=447 人，教师结构为 n*3447 298 315 0。综上所述，3年内需进硕士和博士毕业生298名。三年后教师结构为：宵年教师 447人，中年教师298名，老年教师315名。三、项目选址问题例：某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙 3个修理厂，由丁公司注重对员工的 技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进管理模式，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。对客户的调查显示，0.8 0.2 0客户在甲、乙、丙3个修理厂之间的转移概率为：P 0.2 0 0.80.2 0.2 0.6由丁公司
11、的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。 试分析应选择那个维修厂。解：由丁 P20.680.320.320.160.200.16的所有元素都大丁0,所以P是正规矩阵。0.160.480.52因此P存在唯一的概率向量解线性方程组:(PT 1)0.2 1即* 10.80.22 0.2 30.2 3 020.4 3 0231# / 12得唯一解:长期趋势表明，当公司的客户在3个维修厂之间的转移达到均衡由此可以看出，状态时，大约有50%的客户在甲厂维修，大约有16.67%的客户在乙厂维修，大 约有33.33%的客户在丙厂维修，因此应选甲厂进行项目投资。四、最佳经营策略选择例：北京
12、地区销售鲜牛奶是由3个厂家提供的，该地区客户总数为100万户，假 设厂家从每个客户那里每年平均获利 50元。厂家2的市场调查显示，状态转移 概率矩阵为：0.40.30.3P0.60.30.10.60.30.1均衡状态下市场占有率分别为 策略，提高市场占有率， 方案一旨在吸引老客户。50%, 25%和25%厂家2认为应采取积极的营销 为此设计了两套方案。方案一的实施需花费约450万元，实施方案后估计转移0.40.30.30.30.700.60.10.3概率矩阵为：P方案二希望吸引厂家1和厂家3的客户，方案的实施需花费大约400万元。实施方案后，估计转移概率矩阵为:0.3 0.5 0.20.6 0
13、.3 0.1试选择最佳方案。0.4 0.5 0.1解：方案一，显然R2的所有元素都大丁 0,所以R为正规矩阵。故P有唯的固定点 (1, 2, 3)。解线性方程组：(PT 1) T 01 1230.6 1 0.3 2 0.6 3 0即0.3 1 0.3 2 0.1 3 00.3 2 0.7 3 0 1123得唯一解 0.39,0.44,0.17因此，当市场达到均衡状态时，厂家 2的市场占有率达到44%,比原来增加了 19个白分点，由此带来的利润为：0.19 100 50 950 （万元）方案一成本为450万元，因而实际比原来多获利 500万元。方案二，类似地可得到F2的固定概率向量为0.44,0
14、.42,0.14 ,即当市场达到均衡状态时，厂家2的市场占有率为42%，比原来增加了 17个白分点，由此带 来的利润为：0.17 100 50 850 （万元）实施方案2的成本为400万元，因而实际比原来多获利 450万元。比较方案 一和方案二可知，实施方案一要比实施方案二多获利50万元。因此应选择方案0五、银行贷款回收问题X例：某商业银行在结算时发现，账目未结活的客户共有800户。其中欠款时间为 一年的有400户，两年的为250户，三年的有150户。银行规定，如果三年后仍 不还款，则将其列入呆账（指无法收回的应收账款）。根据以往经验，还款情况随时间转移的概率分布如表所示。表还款情况随时间转移的概率分布表123还清呆账100.300.60.12000.50
