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1、第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值练习基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点,则a()A.4 B.2 C.4 D.2解析f(x)3x212,x0,2x2时,f(x)2时,f(x)0,x2是f(x)的极小值点.答案D2.函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B.1 C.0 D.不存在解析f(x)x,且x0.令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0,故f(x)ex2x在1,2上是增函数,故f(x)ex2xe20;故f(x)exx2在1,2上是增函数,故e1exx2e24;故mf(x)m24恒成立可化为m
2、e1e24m24;故me.答案D5.(2017东北四校联考)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是()A.(1,2) B.(,3)(6,)C.(3,6) D.(,1)(2,)解析f(x)3x22ax(a6),由已知可得f(x)0有两个不相等的实根.4a243(a6)0,即a23a180,a6或a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是_;函数的极大值为_.解析令f(x)3x23a0,得x,则f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(,)(,)(,)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得f(x)x33x4,所以f(x)的单调递减区间是(1
3、,1),当x1时,f(x)极大f(1)6.答案(1,1)6三、解答题9.(2017丽水检测)设f(x),其中a为正实数.(1)当a时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数,求实数a的取值范围.解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时,若f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.结合,可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点,x2是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax22ax10在R上恒成立,即4a24a4a(a1)0,由此并结合a0,知0a1.所以实数a的取值范围为a|0a1.10.已知函数f(x)(
4、xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0,得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)ek1所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,).(2)当k10,即k1时,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k;当0k11,即1k2时,f(x)在0,k1上单调递减,在k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1;当k11,即k2时,f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间
5、0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上,当k1时,f(x)在0,1上的最小值为f(0)k;当1k0,f(x)递增;当x时,f(x)0,f(x)min0,f(x)max.答案C12.(2017长沙调研)若函数f(x)x3x2在区间(a,a5)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.5,0) B.(5,0)C.3,0) D.(3,0)解析由题意,f(x)x22xx(x2),故f(x)在(,2),(0,)上是增函数,在(2,0)上是减函数,作出其图象如图所示.令x3x2得,x0或x3,则结合图象可知,解得a3,0),故选C.答案C13.(2017湖州调研)已知函数F(x)kln x(其中k0)
6、,F(x).若k0,在上,恒有0时,ke,x0,0,F(x)在上单调递减,F(x)minF(e)kk1.F(x)maxFek1.综上所述,当k0且k时,F(x)maxek1,F(x)mink1.答案ek1k114.(2017济南模拟)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)若当x1时,f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.解(1)f(x)2x,依题意,有f(1)0,故a.从而f(x),且f(x)的定义域为,当x0;当1x时,f(x)时,f(x)0.f(x)在区间,上单调递增,在上单调递减.(2)f(x)的定义域为
7、(a,),f(x).方程2x22ax10的判别式4a28,若0,即a时,f(x)0,故f(x)无极值.若0,即a,则2x22ax10有两个不同的实根,x1,x2.当a时,x1a,x20在定义域上恒成立,故f(x)无极值.当a时,ax1ln()21ln.15.若函数f(x)ax3bx4,当x2时,函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)k有3个解,求实数k的取值范围.解(1)对函数f(x)求导得:f(x)3ax2b,由题意解得函数f(x)的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可得:f(x)x24(x2)(x2),令f(x)0,得x2或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)因此,当x2时,f(x)有极大值;当x2时,f(x)有极小值.函数f(x)x34x4的图象大致如图所示.因为方程f(x)k的解的个数即为yk与yf(x)的交点个数.所以实数k的取值范围是.1普通教学a