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1、第三章 导数及其应用 第3讲 导数与函数的极值、最值练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A.4 B.2 C.4 D.2解析f(x)3x212，x0，2x2时，f(x)2时，f(x)0，x2是f(x)的极小值点.答案D2.函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B.1 C.0 D.不存在解析f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，故f(x)ex2x在1，2上是增函数，故f(x)ex2xe20；故f(x)exx2在1，2上是增函数，故e1exx2e24；故mf(x)m24恒成立可化为m
2、e1e24m24；故me.答案D5.(2017东北四校联考)已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A.(1，2) B.(，3)(6，)C.(3，6) D.(，1)(2，)解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有两个不相等的实根.4a243(a6)0，即a23a180，a6或a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_；函数的极大值为_.解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得f(x)x33x4，所以f(x)的单调递减区间是(1
3、，1)，当x1时，f(x)极大f(1)6.答案(1，1)6三、解答题9.(2017丽水检测)设f(x)，其中a为正实数.(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围.解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点，x2是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以实数a的取值范围为a|0a1.10.已知函数f(x)(
4、xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间
5、0，1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0，1上的最小值为f(0)k；当1k0，f(x)递增；当x时，f(x)0，f(x)min0，f(x)max.答案C12.(2017长沙调研)若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A.5，0) B.(5，0)C.3，0) D.(3，0)解析由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示.令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知，解得a3，0)，故选C.答案C13.(2017湖州调研)已知函数F(x)kln x(其中k0)
6、，F(x).若k0，在上，恒有0时，ke，x0，0，F(x)在上单调递减，F(x)minF(e)kk1.F(x)maxFek1.综上所述，当k0且k时，F(x)maxek1，F(x)mink1.答案ek1k114.(2017济南模拟)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.解(1)f(x)2x，依题意，有f(1)0，故a.从而f(x)，且f(x)的定义域为，当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0.f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减.(2)f(x)的定义域为
7、(a，)，f(x).方程2x22ax10的判别式4a28，若0，即a时，f(x)0，故f(x)无极值.若0，即a，则2x22ax10有两个不同的实根，x1，x2.当a时，x1a，x20在定义域上恒成立，故f(x)无极值.当a时，ax1ln()21ln.15.若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)k有3个解，求实数k的取值范围.解(1)对函数f(x)求导得：f(x)3ax2b，由题意解得函数f(x)的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可得：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值；当x2时，f(x)有极小值.函数f(x)x34x4的图象大致如图所示.因为方程f(x)k的解的个数即为yk与yf(x)的交点个数.所以实数k的取值范围是.1普通教学a
