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1、代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数,几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质,以及解直角三角形的措施、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同步也融入了开放性、探究性等问题,如探究条件、探究结论、探究存在性等。常常考察的题目类型重要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题),以及图形运动过程中求函数解析式问题等。解决代数与几何综合题,第一,需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破;第三，要善于联想和转化,将以上得到的显性条件进行恰本地组合，进一步得到新的结论,特别要注意的是,恰本
2、地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想措施，能更有效地解决问题。 第一类：与反比例函数有关(9北京）如图,点C为O直径AB上一点，过点的直线交O于点、E两点,且C=4,于点F,于点G 当点C在AB上运动时，设，下列图象中,能表达与的函数关系的图象大体是( ）ABCD .如图,在平面直角坐标系中，二次函数的图象通过正方形AO 的三个顶点 A、B、C ,则 的值为 . 3.(09延庆)阅读理解:对于任意正实数,，,只有当时,等号成立结论:在（均为正实数）中,若为定值，则,只有当时，有最小值. 根据上述内容,回答问题:（1）若，只有当 时，有最小值 .y
3、xBADPCO（第3题）（2） 摸索应用：已知,，点P为双曲线上的任意一点，过点作轴于点，求四边形面积的最小值，并阐明此时四边形的形状（第4题）yOADxBCENM4.（8南通)已知双曲线与直线相交于、B两点.第一象限上的点M（m，)（在点左侧)是双曲线上的动点.过点B作By轴交轴于点D过N（,-n）作Nx轴交双曲线于点E,交BD于点C.（）若点D坐标是（8,),求A、B两点 坐标及k的值（2）若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.(3)设直线AM、M分别与y轴相交于、两点，且M=pMP，M=Q，求pq的值.5（09.5西城）已知:反比例函数和 在平面直角坐标系xOy
4、第一象限中的图象如图所示,点A在的图象上,B轴,与的图象交于点B，C、D与轴平行，分别与、的图象交于点C、D. （)若点的横坐标为2,求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标； （）若点A的横坐标为m,比较OBC与AB的面积的大小;（）若ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似,请直接写出点A的坐标答案：(1) 点F的坐标为 (2）.（3）点的坐标为(07上海）如图,在直角坐标平面内,函数(，是常数)的图象通过，,其中.过点作轴垂线,垂足为，过点作轴垂线,垂足为，连结，,.（)若的面积为,求点的坐标；（2)求证：;（3）当时，求直线的函数解析式答案：(1)点的坐标为 ； (2)(3）所求直线的函数解
5、析式是或二、与三角形有关7.(07北京)在平面直角坐标系xOy中， 抛物线 =mx2 + 2x n通过P (， 5）, A（0，2）两点()求此抛物线的解析式； () 设抛物线的顶点为B, 将直线AB沿轴向下平移两个单位得到直线l, 直线与抛物线的对称轴交于C点， 求直线的解析式； (3） 在(2)的条件下， 求到直线B, O, BC距离相等的点的坐标.答案：(1）抛物线的解析式为: y =+ ()直线 的解析式为 =x（)到直线O、OC、B距离相等的点的坐标分别为: M(-， 0）、 M2 （0, 2)、M(0,-2)、M4（-2, 0). （08北京)平面直角坐标系xO中，抛物线y 2 +
6、 bx + c与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C， 点B的坐标为(3,0）, 将直线y = kx沿y轴向上平移3个单位长度后正好通过,两点. (1） 求直线B及抛物线的解析式；() 设抛物线的顶点为, 点P在抛物线的对称轴上, 且APDCB, 求点P的坐标;（) 连结CD， 求C与OCD两角和的度数. 答案:() 直线BC的解析式为 = - +. 抛物线的解析式为y =2-4x + 3.(2)点P的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2). （3) OCA与O两角和的度数为45. 9(10.6密云） 已知：如图,抛物线与轴交于、两点,点在点的左边,是抛物线 上一动点（
7、点与点、不重叠），是中点,连结并延长，交于点.(1）求、两点的坐标（用含的代数式表达）；（2)求的值；(3)当、两点到轴的距离相等,且时, 求抛物线和直线的解析式答案:(）(,0)，（,）. ()（3）抛物线的解析式为.直线的解析式为 10.（崇文0)如图,抛物线,与轴交于点,且.(I）求抛物线的解析式；（II)探究坐标轴上与否存在点,使得以点为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出点坐标,若不存在,请阐明理由； （III)直线交轴于点,为抛物线顶点若,的值.答案:(） （II）,(II）BCAxyFODE1. (16东城)如图,已知在平面直角坐标系y中,直角梯形OC的边OA在轴的正半轴上，O
8、C在轴的正半轴上，OB=2,C3,过点B作BDBC，交OA于点D.将DBC绕点按顺时针方向旋转，角的两边分别交轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和（)求通过、B、C三点的抛物线的解析式;（）当E通过(）中抛物线的顶点时，求的长;（3）在抛物线的对称轴上取两点P、(点在点P的上方)，且Q1，要使四边形BCQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标答案：（).()由 FFMC (）点P的坐标为(,）三、与面积有有关1(11.6通县)已知如图，中，与轴平行，点A在x轴上，点C在y轴上,抛物线通过的三个顶点，(1）求出该抛物线的解析式；(2）若直线将四边形面积平分,求此直线的解析式（3)若直线将四边形的周长和面积
9、同步提成相等的两部分，请你拟定中k的取值范畴.13.(.顺义)已知，如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点,点的坐标为，对称轴是.(1）求该抛物线的解析式;（2)点是线段上的动点,过点作,分别交轴、于点P、,连接.当的面积最大时，求点的坐标；（3)在(）的条件下,求的值.四、与最值有关14（0石景山）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10,0)，C点坐标为(0，)，D是BC边上的动点（与点B、不重叠）如图,将COD沿翻折，得到FOD；再在A边上选用合适的点,将BD沿DE翻折，得到DE,并使直线DG,DF重叠.（1)图中，若CO翻折后点落在OA边上,求直线E的解析式（
10、2)设(）中所求直线E与x轴交于点M，请你猜想过点M、C且有关y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数，在图的图形中，通过计算验证你的猜想图图()图中,设(10，b）,求b的最小值答案:(1)直线D的解析式:=x+12(2)直线DE:=-12与抛物线：只有一种公共点(3）b 15.已知抛物线的图像通过点A和点.（1)求该抛物线的解析式；(2)把（1）中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线A只有一种交点? 求出此时抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线向右平移个单位,再向下平移t个单位（0),此时，抛物线与轴交于、N两点，直线AB与轴交于点P,当为什么值时，过
11、M、P三点的圆的面积最小？最小面积是多少?答案：(1）抛物线的解析式为.() 析式为（3)当时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为6.(0海淀)如图13，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴、轴于C、A两点将射线AM绕着点A顺时针旋转5得到射线N.点D为AM上的动点,点B为N上的动点,点C在N的内部.（1） 求线段AC的长；（2） 当Mx轴,且四边形ABCD为梯形时,求BCD的面积;（3） 求BCD周长的最小值;（4） 当BC的周长获得最小值,且时,BCD的面积为 .答案:（1) C=4()当AMx轴，且四边形ABD为梯形时,BD= 22.(）BCD的周长的最小值为4. (4）.五
12、、与四边形及圆有关1.(12.1年西城)已知：在如图所示的平面直角坐标系y中,A，两点的坐标分别为,（其中n0），点B在x轴的正半轴上动点P从点O出发，在四边形OAC的边上依次沿OA的顺序向点移动，当点P与点C重叠时停止运动.设点P移动的途径的长为l,POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形OEF是等腰梯形. (1）结合以上信息及图2填空:图2中的m= ; ()求，C两点的坐标及图2中的长; (3)在图1中，当动点恰为通过O,B两点的抛物线W的顶点时， 求此抛物线W的解析式； 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B,P,Q，R四点为顶点的四边形是菱形
13、,求点Q的坐标.答案：(1)中的=. （2) （）符合题意的点Q的坐标是，18.(12.年石景山）如图,矩形是矩形绕点B顺时针旋转得到的其中点在轴负半轴上,线段在轴正半轴上，点的坐标为. （1)如果二次函数的图象通过两点且图象顶点的纵坐标为求这个二次函数的解析式； （)求边所在直线的解析式； (3）在(1)中求出的二次函数图象上与否存在点P，使得,若存在,祈求出点的坐标，若不存在,请阐明理由答案:(1) (2） (3) ， 19.(.怀柔)如图,在平面直角坐标系中,顶点为（，）的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧)已知点坐标为(，). (1)求此抛物线的解析式； （）过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有如何的位置关系，并给出证明;(第19题)(3）已知点是抛物线上的一种动点，且位于，两点之间，问:当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. 答案:(1)抛物线为
