《求解偏微分方程的径向基函数方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求解偏微分方程的径向基函数方法（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 东北大学硕士学位论文求解偏微分方程的径向基函数方法姓名:李明辉申请学位级别:硕士专业:应用数学指导教师:张铁2002.12.1东北大学硕士学位论文摘 要求解偏微分方程的径向基函数方法摘 要径向基函数插值方法以其计算格式简单,节点配置灵活,精度高的特点而成为研究多元逼近理论的有利工具,并应用于科学计算和工程上,使用这种方法的关键在于选取适当的径向基函数。阜本文首先介绍了求解偏微分方程数值解的几种方法,并进一步阐述了插值法的基本思想。其次,本文详细讨论了径向基函数插值法的一些问题。在这一部分里,首先介绍了径向基函数插值法,并说明插值问题是可解的。而后对插值问题的误差进行估计,给出了空间中的逼近理
2、论及对一般径向基函数的推广。在此基础上,提出了对插值问题误差界的改善,使得逼近阶数提高为原来的倍。通过对径向基函数插值法的一些问题讨论,本文又介绍了运用径向基函数求解偏微分方程的方法,并给出了近似解的误差估计。然后,本文又对椭圆方程及抛物方程进行了数值计算,并通过改变径向基函数中的参数对计算结果进行了分析。最后,本文又提出了一些需要进步研究的问题。关键词:径向基函数;偏微分方程,、插值逼近;数值方法蔓苎堂堡圭主堡垒查垒呈堡垒里: ,. , ,., .,. , ,., , ,.,.: , ,声 尸 明明本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的磷究裁果除翔以标注嗣致谢的墟方外,
3、不包含冀毽入已经发表或撰写过的研究成果,也不包括本人为获譬其他学位丽使用逑的材料。,我?同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。本人签名:季转簿咎日 期:蛳多.,.参东北大学硕士学位论文第一章绪论绪第一章 论.偏微分方程数值解法.有限元法有限元方法已成为当前求偏微分方程数值解的一个重要方法。它在数学上属于变分方法的范畴,是古典变分方法.方法与分块多项式插值结合的产物,这种结合不仅使有限元方法保持了原有变分方法的优点,而且还兼有差分方法的灵活性,使古典变分方法的不足之处得到了充分地弥补。有限元法的基本问题可归纳如下:把问题转化成变分形式;选定单元的形状,对求解域作
4、剖分;构造基函数或单元形状函数;形成有限元方程;提供有限元方程的有效解法;收敛性及误差估计。.有限差分法有限差分法是求微分方程数值解最常用的方法,尤其对发展方程抛物型、双曲型方程等的数值解,常常可以构造出精度高、分辨率高的算法,因而得到广泛的应用。有限差分法的基本问题可归纳如下:对求解域作网格剖分;构造逼近微分方程定解问题的差分格式:差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性的研究:、差分方程的解法。蔓堕堂堡主堂堡笙查整二主竺堕.配置法配置法最初是散乱数据插值的一种方法,而径向基函数方法正是这样的一种方法,他具有计算格式简单,节点配置灵活,计算工作量小等优点,越来越引起人们的注意,应用面不断拓宽,当然
5、它也成为解偏微分方程的一个有效的方法。.函数的插值函数是用来表示某种内在规律的数量关系,但在实际问题中遇到的函数,有许多不能给出精确的表达式,例如由实验或测量仅能得到函数在一系列点,?,。上的值,。,儿,?,。,这样就给计算和分析带来了一定的困难,于是人们希望由这些数据构造出函数的一种简单的近似表达式,使其既能反映的特性又便于计算,插值方法就是寻求函数近似表达式的一种方法。有了插值法,我们就可以用该方法来估计数据,更重要的是很多数值微分和积分的方法就是通过先应用插值法构造出一个逼近函数,然后再微分或积分其结果而推导出来的。对插值法的基本问题阐述如下:给出一组数据点。,?,要构造出一平滑曲线,使
6、其通过这些数据点,对插值曲线应有如下要求:,?,;函数容易定值;容易进行微分和积分;有线性可调参数以简化寻求参数问题。插值函数的选择不仅取决于平滑性,而且取决于被逼近的函数。本文将介绍用径向基函数插值法求微分方程数值解。苎型生兰翌三生坠查笙三主堡鱼垄墨墼塑堡查鲞第二章径向基函数插值方法.径向基函数插值法径向基函数插值法是多元逼近理论中一个有利工具,它可以看作是样条函数在多维问题上的推广。下面即为对径向基函数插值方法的描述。对于月”,?,为互不相同的点,是一个由径向基函数。,:,?, 。生成的函数空间,记为中,?,巾,求在中的插值逼近:小民,】使满足:,?,设,则,?,中,。一妒 那么,矽?,矿
7、 :,?,矿?。记中,。,则插值问题的向量形式为虚尹.插值问题可解性定义.设函数中:“,若对所有由互不相同元素,组成的集合工。,?,月”及所有的口露”满足:,“口,塑苎堂竺主兰堡垒查苎三主堡鱼墨鱼垫塑竺主兰、出艺口 。厂,则称函数巾为阶条件正定义的,零阶条件正定义的函数称为正定义的函数。事实上,定义的概念有另一种表达式。定义设函数:”,若中的变换中.月”,且几乎处处有垂,则称函数是正定义的。定理.若是正定义的,则一中也是正定义的。口证明:一。】中】国。定理.设径向基函数是正定义的,则矩阵却,。是对称下定矩阵,此时插值问题唯一可解。证明:由的定义可知是对称的。“,勺。,庐一 幽:兰兰叩。一。】,
8、否荟叩囔?刚 , 一”专”肿唼扩剐耖九砌哧”即幽其中“州,所以是正定的,从而是对称正定的。由于坼。窆,中,?,写成向量形式为西于,由的性质可知口。于,从而可唯一确定出中,即插值问题唯一可解。;由定理.、.,可直接得出下面推论。推论.甲孔。为对称正定矩阵。.插值问题的误差估计东北大学硕士学位论文第二章径向基函数插值方法.介绍首先对径向基函数插值法作另一种描述。函数”在上的径向基函数插值可由口,十给出,其中是一个次数小于的多项式,通过插值,满足女,其约束条件为:札其中可由彤的一组基表示彤是次数小于的多项式空间,而且满足所需条件的总是存在的】。下面可以进行误差分析了。假设函数。有几乎处处为正的广义变
9、换击,这对所有一般的基函数都是满足的,引入母空间矗,它由函数构成,”一,可由厅一”夕一小还原,其中夕是满足夕/击:”的函数,瓦有半模儿矿”错珊因此,若是正定义的,.。是一个范数,则是一个空间;若中是阶条件正定义的,则/群是一个空间。对函数有一只厂所谓的函数州,可定义为误差函数的范数,它的界可由局部数据密度户?川%:川:轳。给出;但如果基函数有代数退化的广义变换,选择满足致内部锥条件,在上,从球数据密度的角度给出函数的界:东北大学硕士学位论文第二章径向基函数插值方法?。四岣;在这种青,只砷九,我们将一些特殊基函数中的由表.给出表. 特殊函数的误差界的阶数名称基函数, 薄板样条函数一;,” ,一
10、,样条函数厅一;,导一: :函数紧支集函数。一,:多项式吾多二次函数 ,彰,高斯函数一,胪.空间的逼近我们在实际应用及理论研究中,空间是最常用的空间,所以首先,介绍一下空间定义.设亡“是有界区域,若在边界 的一侧;,存在开球对任意。占”和局部坐标变换:,?,舌,妒.笠三主堡鱼垄鱼塾塑笪查兰喜苎查兰堡主兰堡垒圭使局部边界,民可表成:善,茧,:,?善川,。,?,六且为连续,则称是型的。假定是有界型区域,在”五中引进内积和相应的范数:,。“,川。忡口 ”则。为一内积空间,它不完备,但可按范数州。将其完备化,使之成为空间,并用”表示这个完备化空问。定义.称?为空间。由于广义导数可用古典导数逼近,所以”
11、相当于”五中添加了所有具有阶广义导数的函数,因此”也可定义为:”。三:,口。于是,后面将要用到的町为空间。已知.,:,?,。是两两互异的点组成的点集。%是;时的子空间,其定义为%: ?一,。,中?一群 .其中西:”。尺至少是中的函数,群是次数小于的多项式空间。我们假定的光滑性可知,有一个连续的延拓映被逼近的函数时昙由射:时一时”,这样可被延拓为函数孵月”,于是,我们可以应用径向基函数理论,而且对具有变换面的径向基函数中中”来说,母空间和嘭”是一致的,击有性质.十击珊。其中,:为常数且大于零,这个性质可简写为:。则我们可以从的角度给出够,“一州。的界,其中由?定义。定理.设”是一有界开区域,有的
12、边界,“是函数嘭昙在,:,?,上的插值,则存在常数,使对所查型蔓兰翌堑堡笙查苎三主堡鱼墨墨塾塑竺查童有的,当。时由.定义,有估计“一“州一。“时证明:假定一昙是特殊情况函数嘭可被延拓成函数嘭尺”,且延拓。是连续的结合【】的结论,可知。兰,”有估计“一。.最譬“皑四其中函数础,的界可以这样给出:啊,使对所有的,当。时咪九“拶 .成立是与,无关的常数现在,对一个球量”,定义:。% 嘭”,则可选取扩张映射%使玩“雌】一皑肿中的常数与球的半径和位置无关,因此由.可得“一。一占嘴所“%所以存在,。,对有有限子集五,使球,和,且其半径分别为和球心瓦满足,。即,例,一表示集的特征函数,于是。“。甜:“一“:
13、即,。”碟,萎班四一”。,四酬时.蔓生叁童生生兰芝查釜三熏堡鱼垒墨塑塑堕查鲞其中:,。麒,如果选择足够小的;,使,剐对所有的,存在荣些点瓦,馒得圳,”一,也就是?,。十,因此可以在上应用.,这里用。】代替,但当与无关时,再剥月既的连续性,商“一“蚺一嘲畸口.兰,充分小这就是说融妥“啄锄矗扣“时假定罢二由嘭农“及静。屯,是中%拓关予?,?。的最好逼近,撂“一“蟛锄%”一咐?“蚶胪样。蹬“蟛因此,我们已经证明了这种情况。既然已经知道时的估计,那么;稻插值理论【,封皑妫“也占一。“瞪“岛,从而褥到其中半摸封列四:;甜一“嚼哪一“时一侧“蟛一“坩对半模求和,就可得到所述的估计。 口.一般径向基函数的逼近空间的逼近醺论在实际应用中有鞠显静不足之处:基丞数中和%查垄堂塑主兰堡堕查笠三兰堡鱼墨墨鳖塑堡查查空间必须选为未知解的光滑函数,但一般来说,光滑性是未知的,因此我们只能期望收敛结果,使得中的选取与解的光滑性无关,我们仍假定%。并对时尺”进行延拓,而由基函数构成,但这个基函数不能生成整个”作为其母空间,而是生成一个更小的空间。这表
