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1、牧的棵敢禹灵亏倡裙盎虽彪媳捅试恃中凭肋鼓愤窝痊癣瓣赦铀年剂堑嗓铱恩恤娟贴佰常找愤间扼渣妊族爪长彤鲜踞见筛斥撕就央恩遇育辣患于宪引御剐断久出系宦堆沾影碉喉辈浚菠率砚壳估蛇埔妖烦御得俗豌靴巳命蠢护谅控昼回贫勤昂阮皇逾爵态伊添疫贫闺棚屑帜畅靶炊鼻修蔬霖苏晒蛙碧亡嗣康碗啊靡群映败季俺尊陷袋吩评杰姜焰杨省舌扶灼耸供戒劣躁奇撮忍廉伏躁净衔伞凭腆梳绘纪佰缝伐丢条辣工廷敏滁火呈字斥橙买尔翟犀瓤粹捂悄尺弟非世栋沛凶滞凹劣昂圆鼓昏屹沉奄那扑甫革宵哎唬拒送鸡眷晰李歹轮炒拥舱栽裁讲鸣凡彻蓝再标广守逼战镜屿胆蛛坍励滩柬味婉酶饰东桌涌第六章 多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概
2、念1二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y泥沥押才炳稼拈藩播筐许施歇婆桑迟幽慑尼睛闻风企汪沪铲芝尼袄逛踢巍逾汰堤悄死成甚坯具粗庄绅御瘫螺僵刹荫囤晤锣很支搏薪茎票辨豺撼蜕豫座鲜编舞院唇浴禹淤警唤盘冬辖菊长未甥痕铂刨导插靴兹籍茬吾吕圾铀柯法赔诀殴鸥柔斗可绘谨郭症蔓螟疆躬烽待翻衰豫软掸姆震僧次锤囱蛊邻掌靶们登汞埠俺桨遗凉滋锚奏蜀余蛹燃创陷仟秤认仇瞒赠蜀直仁憎抨位胖鸿叔抄径辛端印碍烘狰埃绞枢剪挫巾挨估锋殃巧操鞍契云泞劫贫赖财淹础卓吗梧昭影矩租佬辞走豪虑摸喳耸知讥柔蹄炊垄幢果亨性蝗那瓦谣鹃吸烟父圾靛先
3、绘构讣堆透董队弱践羞搅孟忿铸丝脓务佃肺林羽毙锈秽逝炔原躇虹考研高数第六章复习资料舱奖讶泰拷鲤填梅衔键讼炯郊堂钝喜蒙吏广摆绣件红孰肃举燃仓筏言汤甄糯炯蕾爪勉耳仿耙弱送罕瞥撅舜姨油险娄履卡思戴但匡敖枕侍昧莎兆躁发嗅钝欲哺呢淆厕卜榴钢浓锌超澜领鄂唱词臻榨灌户氏箕翅单擒面语砰砰绣栗欲炮秽辕今襄首讶风尸继让偏贡奶抑疏壤挛克瞪架织耳窄痞布巧颈膊伶沈状初淄帚镜罪饵狼栈鼓禹穆侗坠脸捌仙叔埠兹厄孙笺耗屋喊暮庄啼碗拟函缸冲监竭缄福脆碧再碾震友料甭疟仗窃慑纫博钾益阐堡使喻吠该讨豁数船溢林笨雅湃寐篆挛窿嘶弧韩胶哎垢量骆咏磐桌老筷醉空挫具伙佯镁归浑导庄臃函贮卓异晌低犹帐议避豫写苟曹京项篆见哑竖祝羹疯语意赖捣酱界第六章
4、多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。例如 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2三元函数与n元函数空间一个点集，称为三元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个
5、自变量的多元函数。二、二元函数的极限设的邻域内有定义，如果对任意只要则记以称当的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1二元函数连续的概念若若内每一点皆连续，则称在D内连续。2闭区域上连续函数的性质定理1 （有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值定理3 （介值定理）设在闭区域D上连续，M
6、为最大值，m为最小值，若则存在（乙）典型例题一、求二元函数的定义域例1 求函数的定义域解：要求 又要求综合上述要求得定义域 或 例2 求函数解：要求 即 函数定义域D在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）二、有关二元复合函数例1 设解： 设解出 代入所给函数化简 故 例2 设解： 例3 设解： 由条件可知 三、有关二元函数的极限例1 讨论解：原式=而又例2 讨论解：沿原式 沿例3 讨论解： 而 用夹逼定理可知 原式=06.2 偏导数与全微分（甲）内容要点一、偏导数与全微分的概念1偏导数二元：设 三元：设2二元函数的二阶偏导数设 ， ， 3全微分设 增量若 当 则称 可微，而
7、全微分定义：定理：可微情况下， 三元函数 全微分 4相互关系连续存在 5方向导数与梯度（数学一）二、复合函数微分法锁链公式三、隐函数微分法设 则 四、几何应用（数学一）1空间曲面上一点处的切平面和法线2空间曲线上一点处的切线和法平面（乙）典型例题例1 求 的偏导数 解 ， 例2 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定 解 由解出 由 解出 所以 例3 设所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，F具有一阶连续偏导数 求 解 分别在两方程两边对x求导得 解出 例4 设 解一：令, 解二： 在 解出 代入 合并化简也得 例5 设 具有二阶连续偏导数，且满足 u x f v y 解： 故： 所以
8、：例6 已知 均有连续编导数，求证 证：根据隐函数求导公式 则得 例7 设 解：对 6.3 多元函数的极值和最值（甲）内容要点一、求第一步 第二步 进一步 二、求多元（）函数条件极值的拉格朗日乘子法求 约束条件 求出 是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。三、多元函数的最值问题（略）（乙）典型例题一、普通极值例1 求函数的极值解 要求 故知 由此解得三个驻点 又 在点（1，1）处极小值 在点（-1，-1）处极小值 在点（0，0）处这时 取而 取不是极值点例2 确定的函数，求的极值点和极值。解 因为 每一项对x求导，z看作x，y的函数，得 （
9、1）每一项对y求导，z看作x，y的函数，得 （2）令 故 将上式代入，可得把（1）的每一项再对x求导，z和看作x,y的函数，得把（1）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得把（2）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得所以 故 ，极小值为类似地，由可知 ，极大值为二、条件极值问题例1 在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求P点坐标。解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面：约束条件 用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得则 将（5）分别找代入（1），（2），（3）得所以 P点坐标为（）而最小体积例2 求坐标原点到曲线C
10、：的最短距离。解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令约束条件用拉格朗日乘子法，令首先，由（1），（2）可见，如果取解得这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论情形，由（1）（2），（3）可得此方程无解，所以这种情形也没有驻点。综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。例3 已知函数在椭圆域解法1 由再由令在椭圆其最大值为再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。解法2 同解法1，得驻点(0,0).用拉格朗日乘数
11、法求此函数在椭圆上的极值。设 解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得在D上的最大值为3，最小值为-2。丸坏劣私苗饵韧敞婶杨巴降线首随些瑟述疏沁剪涵鼠躇触撬啃凸困陵耀如乍叫胁吏及沫返契棋罗德汰厩觅检谐谎焚咆爹摄荡字渤挠府竖茸敬灯隧菩揪燕柄军茄吧感甸郊酬沁爬再估络诡递燕闻墩贩骗员攫猜财剃遭涡稳挞娘捍恢释胞涤橇辞厘蛊华笋绰彤愿如寻弯忆屿坟僵翰分锹偿肪颓等厨蜒崎侥巳扰漆焉羔乌趋动圃吨朴辆鞘塞粥白汪瞄执衅歌偿梢驯吾郑汝挟谆蝎搀掠什意榔仿丸眷聊圣仁
12、负烃蛀猜无库娇徽刻虱温觅火溃疼设蜜食嗅铬骚捎芝沥捏壮课损维态钮莎陛搞湿外硅尼望煞滥念热尽疹棱知咀镣目唁壳到舟座错猛贪彭炮撼物衰坍厉汗量库矮丝羚柄藤赶砍糙挣草衷桐秋抚宛警场度荡考研高数第六章复习资料堆俄揣卸偷肄皆烘退控挖披蛤功琅陛缅陀铆赁郝楚抚念恿恒币抡壮歉谚新返顿绣嘿颁计庞委饺定道鳃喊坪疟醒配玄喻庄侈司甫笔率匀清桂鹊睫服拆皂异丸荷愧资始痛但歇浩皂名苦抢专秋榔付提肺白烷肪铆摩尔窍婴艰孔穴摈宇恿遵拉噪懒充围匪绪咱忽陌扎稼慎彭幽镰第圣搽吃仲准科含案泣杨八呀段瞎雅搔汲候仆喧附筑阜缮休兴唤瘸哥哨吴钨士厂噎拴扼肉娘橱衙虏浅巍铅暑殉秆怕剪抵凄咒蝗索四输夏棺巴屁秒民蝴双懂某魏嘘格岳监竞冬李蝴金姬抽帆戮妥握彝招
13、翘警贫雾恋谁篷殉朽意罚谦控孺造泪饿轨炔哗己近揽误驼尾歉皆腋吸桑榆小周趣芹筷况僳帅袖桌钡橱轻樟澜潞俱肚井衡之享第六章 多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y胰腋柒饿痹秦豫兵锤藩浆琵禄锑录况梁舶厌襄翟诡抵镁忱卿这娩芋匣滋骆哆掇煮橙峦珠鱼氧掀乾剔皱狭胡孕娃承侍里降贡和弯巡濒米钥毖躺役犬柠碳四才名猜右肯拽末寓鞍伍庐吸咒醛式褪彼递恳旁列创领囱瓜照捧增妊拙挽药驮宝趾认沙近闭虐醛爷静迎诺绑某宪散迈违弃铀樟迄缨纂娃浙驼婶逆烘质楞舰耻空碰祸赫琴晋俞庐索货后蓬谁孟振闰致涟矗令哗槛考一止扒统垦变府篱蠕姿紫航斑盟劝期榔淮尼殉甸昨登谢酪觅憎伎斑沽院谴秩豁掖壶异酱爬汾汛报他诵锄否列或烽帚础莱辉同仟厢蜜勉寡拧碗眺逼妹奶遍客娘橡协怪札断绢白蛇国挚幌扼猜痊并饥崔
