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1、第36讲空间向量的应用一、考情分析1. 理解直线的方向向量及平面的法向量；2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；5. 能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；6. 并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.二、知识梳理1. 直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：给定一个定点A和一个向量“，再任给一个实数I,以A为起点作向量AP=ta,则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量
2、.平面的法向量：直线la,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.2. 空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1, l2的方向向量分别为n1, n2l/l2m1#m2m1=Am2l1l2m11m2=mm2=0直线l的方向向量为m, 平面a的法向量为ml amm=m m=0lXamm=m=Am平面a,月的法向量分别为m, ma gmm=m=Amapmm=m m=03.异面直线所成的角设a, b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角gl1与l2所成的角0范围(0, n)求法abcos 3=, Hu lallblla blcos 0=lcos gl = lallbl4.
3、 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为。，平面a的法向量为m,直线l与平面a所成的角为仇则sin 0Tcosa，心 I-迪.5. 求二面角的大小如图，AB, CD是二面角a-l-p的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 3= _JAB, CD）.如图，叩n2分别是二面角a-l-p的两个半平面a, p的法向量，则二面角的 大小3满足I cos 3l = lcos g n2）I，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角（或其补 角）.6. 点到平面的距离用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点A，求向量AB到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平
4、面a的法向量为 lAB-nln，点B到平面a的距离d=F .微点提醒1. 平面的法向量是非零向量且不唯一.2. 建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.3. 线面角3的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即 sin 3=lcosa，n） I，不要误记为 cos 3=lcosa，n） I.4. 二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面a，p 的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等，还是互补.三、经典例题考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】如图，在四面体ABCD中，人2
5、上平面BCD，BCLCD，AD = 2，BD = 22, M 是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ = 3QC.证明：尸己平面BCD.【解析】证明法一如图，取BD的中点。，以O为原点，OD，OP所在射线分别为 y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知，A（0，寸2 2），B（0，-2，0），D（0，.2，0）.设点C的坐标为30, y0，0).因 %AQ = 3QC,所以 Q4xo,半+%，1/因为M为AD的中点，故M(0,顼2, 1).又P为BM的中点，故P0, 0, 2)所以死=邕,乎+京。/ 又平面BCD的一个法向量为&=(0, 0, 1),故PQa=0
6、.又PQG平面BCD,所以尸平面BCD.法二 在线段CD上取点尸，使得DF=3FC，连接OF,同法一建立空间直角坐标系， 写出点A, B, C的坐标，设点C坐标为(x0, y0, 0).CF=1CD，设点F坐标为(x, y, 0),贝Q3x0，yy0,0）=1（-x0，V2-y0，0），3x=4x0,吏/ 顷一4 +4y0,.H3孩工3OF=4x0，4 +4y。， 又由法一知PQ = GX0，+4y0,Of=Pq,pqof.又PQa平面BCD, OF平面BCD, :PQ平面BCD.规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平 行和垂直的关键.(2)证明直线与平
7、面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证 直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直 线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量 运算.考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD = 90AB=BC=PB=PC=2CD，侧面 PBC 底面 ABCD.证明：（1）P4BD；（2）平面PAD平面PAB.【解析】证明（1）取BC的中点0,连接PO,.平面PBC底面ABCD,APBC为等边三角形，?.P0 底面 ABCD.以BC的中点0为坐标原点，
8、以BC所在直线为x轴，过点0与AB平行的直线为y 轴，0P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设 CD=1，则 AB=BC=2，P0=弟.A（1，2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，胰）.*.BD = ( 2，1， 0)， PA = (1，2，*3).VBD-PA = ( 2)X 1 + (1)X(2) + 0X ( 、.,：3) = 0，AP4BD，AP4BD.取PA的中点M，连接DM，则Mg，1，乎.DM=|，0，普 pB=(1，0，-3)， 33:.DM- 98=2X1 + 0X0+5 X(.3) = 0，A.IjMLpB，艮fl DMPB.33：
9、DM P4=2X1+0X（ 2） +亍 X（3） = 0，：.l5MPA，艮fl DMP4.又 VP4nPB=P，ADM平面 PAB.；DM 平面PAD，.平面PADL平面PAB.规律方法（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标， 从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）用向量证明垂直的方法 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向 量表示. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.考点三 用空间向量解决有关位置关
10、系的探索性问题角度1与平行有关的探索性问题【例3T】如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ZABC和ZA1AC均为 60,平面AA1C1C平面ABCD.（1）求证：BDAA1；（2）在直线CC1上是否存在点尸，使B尸平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不 存在，请说明理由.【解析】（1）证明 设BD与AC交于点。，则BDLAC，连接A1，在AA?中，AA1=2, AO=1，/AAO = 60，A1O2=AA1+AO2 2AAAOcos 60 = 3，?.A2+A1O2=AA2，:,A1OAO.由于平面AA1C1C平面人8。，且平面AA1C1CA平面ABCD=AC，A1O
11、 平面 AA1C1C，AA1O 平面 ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（0，1，0），B点，0，0），C（0，1，0），D（,3，0，0），A1（0，0，顼2），C1（0， 2,展）.由于BD = （ 2淤，0，0），AA1 = （0，1，鹏），Al1-BD = 0X（ 2 鹏）+1X0+瞻 X0 = 0，?.BDA11，艮口 BDAA1.解 假设在直线CC1上存在点P，使8尸平面DA1C1，设Cp=ACC1，P（x，y，z），则（x，y1，z）=A（0，1，3）.从而有 P（0，1+A，.3A），BP=（指，1+A，3A）.
12、设n3平面DA1C1,n3 AZ， n3上瓦1,又A1C1 = (0, 2, 0), DA1 = 3, 0,拓)，、2y3 = 0,设yg,为，W ,则回*修=0,取 n3 = (1, 0,-1)，因为 8尸平面 DA1C1,则 n3BP，即 n3BP =J3 3A=0, 得 A= 1,即点P在C1C的延长线上，且C1C=CP.角度2与垂直有关的探索性问题【例3 2】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已 知 BC=4, AB=AD = 2.(1) 求证:AC1BF；(2) 在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC平面BCEF?若存在，求出器的值； 若不存在，请
13、说明理由.【解析】证明,平面ADEFL平面ABCD,平面ADEFQ平面ABCD=AD,AFLAD, AFu平面 ADEF,AAF 平面 ABCD.VACu 平面 ABCD,. AFLAC.过 A 作 AHLBC于 H,则 BH=1, AH=g, CH=3,AC=23.AB2+AC2=BC2,.ACLAB,.ABEAF=A,.ACL平面FAB,VBFu平面 FAB,ACLBF.(2)解存在.由(1)知，AF, AB, AC两两垂直.以A为坐标原点，疝，AC, AF的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系Axyz,则 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0
14、, 2捐，0), E(1, g, 2).假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B, E重合，设器=久，则久0, P气一X 四 24、 1+丁 1+X 1+力.设平面PAC的法向量为m = （x, y, z）.土_ (2X 小X 2X、由 ap=F 1+X，1+J,AC=(0, 2挡，0),得M 2X | 3X , AP=+x+y+2X _八 1+z=0,m AC=2；3y=0,y=X2即L=u,令x=1,则z=亏,z= 2X x,一一.（X2A,.* 、” ， 一所以m=1, 0, 可 为平面PAC的一个法向量.同理，可求得n = 1, g3, 1为平面BCEF的一个法向量.I 3 J2当m n=0,即X=3时，平面PAC平面BCEF,BP 2故存在满足题意的点P,此时宜=PE 3规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法（1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理.探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为（x，y，z）；坐标平面内的点其中一 个坐标为0，如xOy面上的点为（x，y， 0）；坐标轴上的点
