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1、概率论复习提纲第一章 随机事件和概率 （11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P( )=1- P(B)第二章 随机变量及其分布 （5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 的分布律为， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。泊松分布
2、为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，b上为常数 ，即axb其他，则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为axb0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（ ）内的概率为。指数分布,0, ,其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为,x0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。| |1，当| |=1时，称X与Y完全相
3、关：完全相关而当 时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关（i） 若随机变
4、量X与Y相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为伯努利大数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X
5、1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数有（2）中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我
6、 们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分 布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本 值）。我们称之为样本的两重性。第七章 参数估计（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方
7、程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性设
8、 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。一致性设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如
9、下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；（iii）导出置信区间 。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出 的置信区间第八章 假设检验基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为 了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没有
10、导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平，通常我们取=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设H0；(ii) 选择统计量K；(iii) 对于检验水平查表找分位数；(iv) 由样本值 计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”
11、的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P否定H0|H0为真= ；此处的恰好为检验水平。第二类错误当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即P接受H0|H1为真= 。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把取得大些。第一章讲随机事件及其概率的一些相关公式和运用。很多高中就有涉及，如果你真理不清其中的关系，我建议可以先画韦恩图取得一个感性的认识，再去推导记忆公式。我把公式分为两类：基本公式，条件概率公式。当然基本概念是必须搞清楚的，这一章大多数基本概念大家都比较熟悉，除了条件概率相对陌生。我相信大家都不会存在概念上的问题。基本公式就是一些定律和性质公式，已经很熟悉的公式跳过，相对陌生的重点记忆一下，
